HemHome

MT1566 · Hållfasthetslära fortsättningskurs

Chapter 3: Flyt- och brottkriterierYield & Failure Criteria · Week 4 · 5 problems
⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Alexander Barlos lösningsmanual som källa tills vidare version. ⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Alexander Barlo's solution manual as the authoritative source until a later version.
3.1 fortsattning

Samma spänningstillstånd som i problem 2.5 (σ_x = 10 MPa, σ_y = 50 MPa, τ_xy = −15 MPa, dvs huvudspänningarna σ_1 = 55 MPa och σ_2 = 5 MPa). Materialet har sträckgränsen σ_s = 120 MPa. Bestäm säkerhetsfaktorn mot flytning enligt a) Tresca-kriteriet, och b) von Mises-kriteriet.

The same stress state as in problem 2.5 (σ_x = 10 MPa, σ_y = 50 MPa, τ_xy = −15 MPa, i.e. principal stresses σ_1 = 55 MPa and σ_2 = 5 MPa). The material has a yield strength σ_y = 120 MPa. Determine the safety factor against yielding using a) the Tresca criterion, and b) the von Mises criterion.

VerklighetsanknytningReal-world context Tresca och von Mises är de två arbetshästarna för att avgöra om ett segt material (stål, aluminium) flyter under en sammansatt belastning. Tresca (max skjuvspänning) är enklare och något konservativ; von Mises (formändringsenergi) stämmer bäst med försök och är standard i FEM. Knepet i plan spänning: glöm inte den tredje huvudspänningen σ_3 = 0. Tresca and von Mises are the two workhorses for deciding whether a ductile material (steel, aluminium) yields under combined loading. Tresca (max shear) is simpler and slightly conservative; von Mises (distortion energy) matches experiments best and is the FEM standard. The trick in plane stress: don't forget the third principal stress σ_3 = 0.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: säkerhetsfaktorn mot flytning enligt a) Tresca-kriteriet, och b) von Mises-kriteriet.You're asked to determine: the safety factor against yielding using a) the Tresca criterion, and b) the von Mises criterion.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Fri termisk förlängning δ_T = α·ΔT·LFree thermal elongation δ_T = α·ΔT·L
  • Begränsad termisk spänning σ = −E·α·ΔTConstrained thermal stress σ = −E·α·ΔT
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
  2. Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
  3. Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
  4. Huvudspänningar — inklusive σ_3 = 0Principal stresses — including σ_3 = 0
  5. a) Tresca-kriterieta) Tresca criterion
  6. b) von Mises-kriterietb) von Mises criterion
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Hämta huvudspänningarna från 2.5 (55 och 5 MPa) och lägg till σ_3 = 0 för plan spänning. Take the principal stresses from 2.5 (55 and 5 MPa) and add σ_3 = 0 for plane stress.
2. Tresca: σ_eqv = σ_max − σ_min = 55 − 0. von Mises: √(55² − 55·5 + 5²). Tresca: σ_eqv = σ_max − σ_min = 55 − 0. von Mises: √(55² − 55·5 + 5²).
3. η_T = 120/55 = 2,18; η_vM = 120/52,7 = 2,28. η_T = 120/55 = 2.18; η_vM = 120/52.7 = 2.28.
≈ 14 min≈ 14 min · flytkriterium von-mises tresca säkerhetsfaktor huvudspänningar
Figure 3.1
Fig. 3.1 · MT1566 · Alexander Barlo

LösningSolution

Använd huvudspänningarna från 2.5: σ_1 = 55, σ_2 = 5 MPa, och i plan spänning σ_3 = 0. Tresca: jämförspänningen är σ_max − σ_min över ALLA tre huvudspänningarna. von Mises: jämförspänningen byggs av skillnaderna mellan huvudspänningarna. Säkerhetsfaktorn är σ_s delat med jämförspänningen. Use the principal stresses from 2.5: σ_1 = 55, σ_2 = 5 MPa, and in plane stress σ_3 = 0. Tresca: the equivalent stress is σ_max − σ_min over ALL three principal stresses. von Mises: the equivalent stress is built from the differences between the principal stresses. The safety factor is σ_y divided by the equivalent stress.
von Mises ger alltid en säkerhetsfaktor ≥ Tresca (Tresca är inskrivet i von Mises-ellipsen). Här 2,28 ≥ 2,18 ✓. Skillnaden är liten eftersom tillståndet ligger nära enaxligt. von Mises always gives a safety factor ≥ Tresca (Tresca is inscribed in the von Mises ellipse). Here 2.28 ≥ 2.18 ✓. The difference is small because the state is close to uniaxial.
1. Huvudspänningar — inklusive σ_3 = 0Principal stresses — including σ_3 = 0

Från Mohrs cirkel i 2.5: σ_1 = 55, σ_2 = 5 MPa. Eftersom det är plan spänning är den tredje huvudspänningen (vinkelrätt mot planet) noll: σ_3 = 0. Det är avgörande för Tresca. From Mohr's circle in 2.5: σ_1 = 55, σ_2 = 5 MPa. Because this is plane stress, the third principal stress (perpendicular to the plane) is zero: σ_3 = 0. This is crucial for Tresca.

Spelar den tredje huvudspänningen σ_3 = 0 någon roll för Tresca-kriteriet här? Does the third principal stress σ_3 = 0 matter for the Tresca criterion here?
50%
Tresca använder största MINUS minsta huvudspänning över alla tre. Eftersom σ_3 = 0 < σ_2 = 5 blir σ_min = 0, så σ_eqv = 55 − 0 = 55 (inte 55 − 5 = 50). Tresca uses largest MINUS smallest principal over all three. Since σ_3 = 0 < σ_2 = 5, σ_min = 0, so σ_eqv = 55 − 0 = 55 (not 55 − 5 = 50).
$$ \sigma_1 = 55\ \text{MPa}, \quad \sigma_2 = 5\ \text{MPa}, \quad \sigma_3 = 0\ \text{(plan spänning)} $$
2. a) Tresca-kriterieta) Tresca criterion

Jämförspänningen är största minus minsta huvudspänning. Här σ_max = σ_1 = 55 och σ_min = σ_3 = 0. The equivalent stress is the largest minus the smallest principal stress. Here σ_max = σ_1 = 55 and σ_min = σ_3 = 0.

$$ \sigma_{\text{eqv,T}} = \sigma_{\max} - \sigma_{\min} = 55 - 0 = 55\ \text{MPa} $$
$$ \eta_T = \dfrac{\sigma_s}{\sigma_{\text{eqv,T}}} = \dfrac{120}{55} = \boxed{2{,}18} $$
3. b) von Mises-kriterietb) von Mises criterion

von Mises jämförspänning för plan spänning (σ_3 = 0). De båda formerna nedan är ekvivalenta. von Mises equivalent stress for plane stress (σ_3 = 0). The two forms below are equivalent.

$$ \sigma_{\text{eqv,vM}} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} = \sqrt{55^2 - 55\cdot 5 + 5^2} $$
$$ \sigma_{\text{eqv,vM}} = \sqrt{3025 - 275 + 25} = \sqrt{2775} = 52{,}7\ \text{MPa} $$
$$ \eta_{vM} = \dfrac{\sigma_s}{\sigma_{\text{eqv,vM}}} = \dfrac{120}{52{,}7} = \boxed{2{,}28} $$

⭕ Mohrs cirkel — σ_1, σ_2 och von Mises-spänningenMohr's circle — σ_1, σ_2 and the von Mises stress

Samma tillstånd som 2.5. Avläs σ_1 = 55 och σ_2 = 5 MPa, samt σ_vM = 52,7 MPa i rutan (von Mises-spänningen som ger η_vM = 120/52,7 = 2,28). OBS: widgetens τ_max = 25 är i PLANET; Tresca-flytning använder dock σ_1 − σ_3 = 55 (med σ_3 = 0).The same state as 2.5. Read σ_1 = 55 and σ_2 = 5 MPa, and σ_vM = 52.7 MPa in the box (the von Mises stress giving η_vM = 120/52.7 = 2.28). NOTE: the widget's τ_max = 25 is IN-PLANE; Tresca yielding instead uses σ_1 − σ_3 = 55 (with σ_3 = 0).

σ_x = 10 MPa
σ_y = 50 MPa
τ_xy = -15 MPa
θ = 0°
Mohrs cirkel (σ−τ plan)Mohr's circle (σ−τ plane)
Spännings­element (vrider med θ)Stress element (rotates with θ)
σ_1 — MPa
σ_2 — MPa
τ_max — MPa
θ_p —°
σ_vM — MPa
Sammanfattning.Summary. Med σ_1 = 55, σ_2 = 5, σ_3 = 0: Tresca σ_eqv = 55 ⇒ η_T = 2,18. von Mises σ_eqv = 52,7 ⇒ η_vM = 2,28. von Mises är något mindre konservativ. With σ_1 = 55, σ_2 = 5, σ_3 = 0: Tresca σ_eqv = 55 ⇒ η_T = 2.18. von Mises σ_eqv = 52.7 ⇒ η_vM = 2.28. von Mises is slightly less conservative.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.24 · Tresca (max skjuvspänning): σ_eqv = σ_max − σ_minTresca (max shear): σ_eqv = σ_max − σ_min
  • KB s.24 · von Mises: σ_eqv = √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²) (plan spänning)von Mises: σ_eqv = √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²) (plane stress)
Vanliga misstagCommon mistakes
M31-1_ignore_sigma3
Glömmer σ_3 = 0 i plan spänning. Tresca blir då felaktigt σ_1 − σ_2 = 50 (η = 2,40). Rätt är σ_1 − σ_3 = 55 (η = 2,18). Forgetting σ_3 = 0 in plane stress. Tresca then wrongly becomes σ_1 − σ_2 = 50 (η = 2.40). The correct value is σ_1 − σ_3 = 55 (η = 2.18).
M31-2_vm_form
Använder fel von Mises-form. För plan spänning gäller √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²); glöm inte korstermen −σ_1σ_2. Using the wrong von Mises form. For plane stress it is √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²); don't drop the cross term −σ_1σ_2.
M31-3_eta_inverted
Inverterar säkerhetsfaktorn. η = σ_s / σ_eqv (> 1 betyder marginal mot flytning), inte tvärtom. Inverting the safety factor. η = σ_y / σ_eqv (> 1 means margin against yielding), not the other way around.
Se även:See also: Uppg. 2.5 — För spänningstillståndet σ_x = 10 MPa, σ_y = 50 MPa, τ_xy =…Prob. 2.5 — For the stress state σ_x = 10 MPa, σ_y = 50 MPa, τ_xy = −15… — Huvudspänningarna σ_1 = 55, σ_2 = 5 MPa kommer från Mohrs cirkel-analysen i problem 2.5 (samma spänningselement).
3.2 fortsattning

Det plana spänningstillståndet σ_x = 10 MPa, σ_y = −100 MPa, τ_xy = 60 MPa förväntas uppträda i ett aluminiumgjutgods. För aluminiumlegeringen gäller brottgränserna σ_UT = 80 MPa (drag) och σ_UC = 200 MPa (tryck, belopp). Använd Mohrs (Coulomb-Mohrs) brottkriterium för att avgöra om gjutgodset brister eller ej.

The plane stress state σ_x = 10 MPa, σ_y = −100 MPa, τ_xy = 60 MPa is expected to occur in an aluminium casting. For the aluminium alloy, the rupture limits are σ_UT = 80 MPa (tension) and σ_UC = 200 MPa (compression, magnitude). Use Mohr's (Coulomb-Mohr) fracture criterion to determine whether the casting will rupture.

VerklighetsanknytningReal-world context Sprött gjutgods (gjutjärn, aluminiumgjutgods, betong) är mycket starkare i tryck än i drag. Ett enkelt max-spänningskriterium missar att en kombination av drag och tryck kan spräcka materialet trots att ingen enskild huvudspänning når sin gräns — det är precis vad Mohrs kriterium fångar, och precis vad som händer här. Brittle castings (cast iron, aluminium castings, concrete) are far stronger in compression than in tension. A simple max-stress criterion misses that a combination of tension and compression can crack the material even though no single principal stress reaches its limit — which is exactly what Mohr's criterion captures, and exactly what happens here.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: whether the casting will rupture.You're asked to determine: whether the casting will rupture.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Fri termisk förlängning δ_T = α·ΔT·LFree thermal elongation δ_T = α·ΔT·L
  • Begränsad termisk spänning σ = −E·α·ΔTConstrained thermal stress σ = −E·α·ΔT
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
  2. Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
  3. Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
  4. HuvudspänningarPrincipal stresses
  5. Coulomb-Mohrs kriteriumCoulomb-Mohr criterion
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Beräkna först huvudspänningarna: σ_avg = −45, R = √(55² + 60²) = 81,4. First compute the principal stresses: σ_avg = −45, R = √(55² + 60²) = 81.4.
2. σ_1 = 36,4 (drag), σ_2 = −126,4 (tryck). Använd Coulomb-Mohr för drag+tryck. σ_1 = 36.4 (tension), σ_2 = −126.4 (compression). Use Coulomb-Mohr for tension+compression.
3. Index = σ_1/σ_UT + |σ_2|/σ_UC = 36,4/80 + 126,4/200 = 1,09 > 1 ⇒ brott. Index = σ_1/σ_UT + |σ_2|/σ_UC = 36.4/80 + 126.4/200 = 1.09 > 1 ⇒ fracture.
≈ 16 min≈ 16 min · brottkriterium mohr-coulomb sprött-material gjutgods huvudspänningar
Figure 3.2
Fig. 3.2 · MT1566 · Alexander Barlo

LösningSolution

Beräkna huvudspänningarna ur Mohrs cirkel. Tillämpa sedan Coulomb-Mohrs kriterium för drag–tryck-tillstånd: brott när σ_1/σ_UT + |σ_2|/σ_UC ≥ 1. Notera att varken σ_1 ensam (< σ_UT) eller σ_2 ensam (< σ_UC) når sin gräns — det är kombinationen som styr. Compute the principal stresses from Mohr's circle. Then apply the Coulomb-Mohr criterion for a tension–compression state: rupture when σ_1/σ_UT + |σ_2|/σ_UC ≥ 1. Note that neither σ_1 alone (< σ_UT) nor σ_2 alone (< σ_UC) reaches its limit — it is the combination that governs.
σ_1 = 36,4 < σ_UT = 80 och |σ_2| = 126,4 < σ_UC = 200 — alltså skulle ett max-spänningskriterium säga 'inget brott'. Men Coulomb-Mohr ger index 1,09 > 1 ⇒ brott. Det är problemets poäng. σ_1 = 36.4 < σ_UT = 80 and |σ_2| = 126.4 < σ_UC = 200 — so a max-stress criterion would say 'no fracture'. But Coulomb-Mohr gives index 1.09 > 1 ⇒ fracture. That is the point of the problem.
1. HuvudspänningarPrincipal stresses

Centrum σ_avg = (10 + (−100))/2 = −45 MPa. Radien byggs av (σ_x−σ_y)/2 = 55 och τ_xy = 60. Centre σ_avg = (10 + (−100))/2 = −45 MPa. The radius is built from (σ_x−σ_y)/2 = 55 and τ_xy = 60.

Skulle ett enkelt max-normalspänningskriterium förutsäga brott här? Would a simple maximum-normal-stress criterion predict fracture here?
50%
σ_1 = 36,4 < 80 och |σ_2| = 126,4 < 200. Max-spänning säger 'säkert' — men det är fel för sprött material i drag+tryck. Mohr fångar interaktionen. σ_1 = 36.4 < 80 and |σ_2| = 126.4 < 200. Max-stress says 'safe' — but that is wrong for brittle material in tension+compression. Mohr captures the interaction.
$$ \sigma_{\text{avg}} = -45\ \text{MPa}, \quad R = \sqrt{55^2 + 60^2} = \sqrt{6625} = 81{,}4\ \text{MPa} $$
$$ \sigma_1 = -45 + 81{,}4 = 36{,}4\ \text{MPa}, \quad \sigma_2 = -45 - 81{,}4 = -126{,}4\ \text{MPa} $$
2. Coulomb-Mohrs kriteriumCoulomb-Mohr criterion

För ett tillstånd med σ_1 > 0 (drag) och σ_2 < 0 (tryck) interpolerar Mohrs kriterium linjärt mellan drag- och tryckgränsen. Brott när indexet når 1. For a state with σ_1 > 0 (tension) and σ_2 < 0 (compression), Mohr's criterion interpolates linearly between the tensile and compressive limits. Fracture when the index reaches 1.

$$ \dfrac{\sigma_1}{\sigma_{UT}} + \dfrac{|\sigma_2|}{\sigma_{UC}} = \dfrac{36{,}4}{80} + \dfrac{126{,}4}{200} $$
$$ = 0{,}455 + 0{,}632 = 1{,}09 \;\; (> 1) $$
$$ \boxed{\text{Index} = 1{,}09 > 1 \;\Rightarrow\; \text{gjutgodset BRISTER}} $$

⭕ Mohrs cirkel — drag/tryck-tillståndMohr's circle — tension/compression state

Tillståndet σ_x = 10, σ_y = −100, τ_xy = 60 MPa. Cirkeln korsar σ-axeln på båda sidor om origo: σ_1 = +36,4 (drag) och σ_2 = −126,4 (tryck). Det är denna kombination av drag och tryck som Coulomb-Mohr straffar.The state σ_x = 10, σ_y = −100, τ_xy = 60 MPa. The circle crosses the σ-axis on both sides of the origin: σ_1 = +36.4 (tension) and σ_2 = −126.4 (compression). It is this tension–compression combination that Coulomb-Mohr penalises.

σ_x = 10 MPa
σ_y = -100 MPa
τ_xy = 60 MPa
θ = 0°
Mohrs cirkel (σ−τ plan)Mohr's circle (σ−τ plane)
Spännings­element (vrider med θ)Stress element (rotates with θ)
σ_1 — MPa
σ_2 — MPa
τ_max — MPa
θ_p —°
σ_vM — MPa
Sammanfattning.Summary. Huvudspänningar σ_1 = 36,4 MPa (drag), σ_2 = −126,4 MPa (tryck). Coulomb-Mohrs index σ_1/σ_UT + |σ_2|/σ_UC = 1,09 > 1 ⇒ gjutgodset brister, trots att ingen enskild huvudspänning når sin brottgräns. Principal stresses σ_1 = 36.4 MPa (tension), σ_2 = −126.4 MPa (compression). Coulomb-Mohr index σ_1/σ_UT + |σ_2|/σ_UC = 1.09 > 1 ⇒ the casting ruptures, even though no single principal stress reaches its rupture limit.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.25 · Mohr-Coulombs brottkriterium för sprött materialMohr-Coulomb fracture criterion for brittle materials
  • KB s.22 · Huvudspänningar σ_1,2 = σ_avg ± RPrincipal stresses σ_1,2 = σ_avg ± R
Vanliga misstagCommon mistakes
M32-1_max_stress
Tillämpar max-normalspänningskriteriet (jämför σ_1 med σ_UT var för sig). För sprött material i drag+tryck underskattar det brottrisken — använd Coulomb-Mohr. Applying the max-normal-stress criterion (comparing σ_1 with σ_UT separately). For brittle material in tension+compression this underestimates the fracture risk — use Coulomb-Mohr.
M32-2_sign_sigma2
Teckenfel på σ_2 i indexet. σ_2 är tryck (negativ); termen |σ_2|/σ_UC är positiv och adderas. Sign error on σ_2 in the index. σ_2 is compressive (negative); the term |σ_2|/σ_UC is positive and is added.
M32-3_R_formula
Räknar fel på radien: R = √(((σ_x−σ_y)/2)² + τ_xy²) = √(55² + 60²) = 81,4, inte √(55² − 60²) eller 55 + 60. Miscomputing the radius: R = √(((σ_x−σ_y)/2)² + τ_xy²) = √(55² + 60²) = 81.4, not √(55² − 60²) or 55 + 60.
3.3 fortsattning

I en kritisk punkt i en stålkomponent råder plan spänning med σ_x = 140 MPa och τ_xy = 80 MPa. Den tredje komponenten σ_y är okänd. a) Bestäm det största värdet på σ_y för vilket von Mises-jämförelsespänningen blir σ_e = 270 MPa. b) Bestäm Tresca-jämförelsespänningen σ_T för det spänningstillstånd som då råder.

At a critical point in a steel component there is plane stress with σ_x = 140 MPa and τ_xy = 80 MPa. The third component σ_y is unknown. a) Determine the largest value of σ_y for which the von Mises equivalent stress becomes σ_e = 270 MPa. b) Determine the Tresca equivalent stress σ_T for the stress state that then prevails.

VerklighetsanknytningReal-world context Ofta känner man GRÄNSEN (den tillåtna jämförelsespänningen) och måste räkna baklänges till en okänd lastkomponent — ett inverst problem. von Mises-uttrycket blir då en andragradsekvation i den okända spänningen. Uppgiften visar också en klassisk fälla: Tresca-spänningen byggs av alla TRE huvudspänningarna (σ_3 = 0 i plan spänning), inte bara de två i planet. Often you know the LIMIT (the allowable equivalent stress) and must work backwards to an unknown load component — an inverse problem. The von Mises expression then becomes a quadratic in the unknown stress. The problem also shows a classic trap: the Tresca stress is built from all THREE principal stresses (σ_3 = 0 in plane stress), not just the two in-plane ones.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: det största värdet på σ_y för vilket von Mises-jämförelsespänningen blir σ_e = 270 MPa.You're asked to determine: the largest value of σ_y for which the von Mises equivalent stress becomes σ_e = 270 MPa.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Fri termisk förlängning δ_T = α·ΔT·LFree thermal elongation δ_T = α·ΔT·L
  • Begränsad termisk spänning σ = −E·α·ΔTConstrained thermal stress σ = −E·α·ΔT
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
  2. Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
  3. Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
  4. von Mises som andragradsekvationvon Mises as a quadratic
  5. Lös andragradsekvationenSolve the quadratic
  6. Huvudspänningar (Mohrs cirkel)Principal stresses (Mohr's circle)
  7. Tresca-jämförelsespänningTresca equivalent stress
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Sätt in i σ_e² = σ_x² + σ_y² − σ_xσ_y + 3τ²: 270² = 140² + σ_y² − 140σ_y + 3·80². Insert into σ_e² = σ_x² + σ_y² − σ_xσ_y + 3τ²: 270² = 140² + σ_y² − 140σ_y + 3·80².
2. σ_y² − 140σ_y − 34100 = 0 ⇒ σ_y = 70 ± 197,5 ⇒ ta 267 MPa. σ_y² − 140σ_y − 34100 = 0 ⇒ σ_y = 70 ± 197.5 ⇒ take 267 MPa.
3. σ_1 = 306, σ_2 = 101, σ_3 = 0 ⇒ Tresca σ_T = 306 − 0 = 306 MPa. σ_1 = 306, σ_2 = 101, σ_3 = 0 ⇒ Tresca σ_T = 306 − 0 = 306 MPa.
≈ 18 min≈ 18 min · flytkriterium von-mises tresca invers-problem jämförelsespänning huvudspänningar

LösningSolution

a) Skriv von Mises-villkoret för plan spänning med σ_e = 270 insatt; det blir en andragradsekvation i σ_y. Lös den och välj det största (positiva) roten. b) Med σ_y bestämt: beräkna huvudspänningarna ur Mohrs cirkel, lägg till σ_3 = 0, och ta Tresca-spänningen som största minus minsta huvudspänning. a) Write the von Mises condition for plane stress with σ_e = 270 inserted; it becomes a quadratic in σ_y. Solve it and pick the largest (positive) root. b) With σ_y determined: compute the principal stresses from Mohr's circle, add σ_3 = 0, and take the Tresca stress as the largest minus the smallest principal.
Tresca-spänningen (306) är större än von Mises (270) för samma tillstånd — väntat, eftersom Tresca är mer konservativ. Den negativa roten σ_y = −127,5 ger samma von Mises-spänning men ett annat fysiskt tillstånd; vi väljer det största värdet enligt frågan. The Tresca stress (306) exceeds von Mises (270) for the same state — expected, since Tresca is more conservative. The negative root σ_y = −127.5 gives the same von Mises stress but a different physical state; we pick the largest value per the question.
1. von Mises som andragradsekvationvon Mises as a quadratic

Sätt in σ_x = 140, τ_xy = 80 och σ_e = 270 i von Mises-uttrycket och kvadrera. Det ordnar sig till en andragradsekvation i σ_y. Insert σ_x = 140, τ_xy = 80 and σ_e = 270 into the von Mises expression and square. It rearranges into a quadratic in σ_y.

En andragradsekvation har två rötter. Vilken väljer vi? A quadratic has two roots. Which one do we pick?
50%
Båda rötterna ger σ_e = 270, men frågan ber om det STÖRSTA σ_y. Den negativa roten (−127,5) är en giltig men annan lösning. Both roots give σ_e = 270, but the question asks for the LARGEST σ_y. The negative root (−127.5) is a valid but different solution.
Spänningselement: σ_x = 140 MPa (drag) och τ_xy = 80 MPa är kända; σ_y är obekant och ska bestämmas så att von Mises-spänningen blir 270 MPa.Stress element: σ_x = 140 MPa (tension) and τ_xy = 80 MPa are known; σ_y is unknown and is to be found so that the von Mises stress becomes 270 MPa.
$$ \sigma_e^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2 $$
$$ 270^2 = 140^2 + \sigma_y^2 - 140\,\sigma_y + 3\cdot 80^2 $$
$$ \sigma_y^2 - 140\,\sigma_y - 34100 = 0 $$
2. Lös andragradsekvationenSolve the quadratic

Använd lösningsformeln. Roten ger två värden; det största är σ_y ≈ 267 MPa. Use the quadratic formula. The root gives two values; the largest is σ_y ≈ 267 MPa.

$$ \sigma_y = 70 \pm \sqrt{70^2 + 34100} = 70 \pm \sqrt{39000} = 70 \pm 197{,}5 $$
$$ \sigma_y = 267{,}5\ \text{MPa (max)} \quad\text{eller}\quad \sigma_y = -127{,}5\ \text{MPa} $$
$$ \boxed{\sigma_y \approx 267\ \text{MPa}} $$
3. Huvudspänningar (Mohrs cirkel)Principal stresses (Mohr's circle)

Med σ_x = 140 och σ_y = 267: centrum σ_avg = 203,5 och radie R = 102. Lägg till σ_3 = 0 (plan spänning). With σ_x = 140 and σ_y = 267: centre σ_avg = 203.5 and radius R = 102. Add σ_3 = 0 (plane stress).

$$ \sigma_{avg} = \dfrac{140 + 267}{2} = 203{,}5, \quad R = \sqrt{\left(\dfrac{140 - 267}{2}\right)^2 + 80^2} = 102\ \text{MPa} $$
$$ \sigma_1 = 203{,}5 + 102 = 306, \quad \sigma_2 = 203{,}5 - 102 = 101, \quad \sigma_3 = 0 $$
4. Tresca-jämförelsespänningTresca equivalent stress

Tresca-spänningen är största minus minsta huvudspänning. Eftersom σ_3 = 0 är mindre än σ_2 = 101 blir σ_min = 0 — så σ_T = σ_1 − σ_3, inte σ_1 − σ_2. The Tresca stress is the largest minus the smallest principal. Since σ_3 = 0 is smaller than σ_2 = 101, σ_min = 0 — so σ_T = σ_1 − σ_3, not σ_1 − σ_2.

$$ \sigma_T = \sigma_{max} - \sigma_{min} = 306 - 0 = \boxed{306\ \text{MPa}} $$

⭕ Mohrs cirkel — det funna spänningstillståndetMohr's circle — the stress state found

Tillståndet när σ_y = 267 MPa. Avläs huvudspänningarna σ_1 = 306 och σ_2 = 101 MPa, samt von Mises-spänningen σ_vM = 270 MPa i rutan (precis det vi krävde). Tresca använder dock σ_1 − σ_3 = 306 (med σ_3 = 0), inte cirkelns diameter σ_1 − σ_2 = 205.The state when σ_y = 267 MPa. Read the principal stresses σ_1 = 306 and σ_2 = 101 MPa, and the von Mises stress σ_vM = 270 MPa in the box (exactly what we required). Tresca, however, uses σ_1 − σ_3 = 306 (with σ_3 = 0), not the circle's diameter σ_1 − σ_2 = 205.

σ_x = 140 MPa
σ_y = 267 MPa
τ_xy = 80 MPa
θ = 0°
Mohrs cirkel (σ−τ plan)Mohr's circle (σ−τ plane)
Spännings­element (vrider med θ)Stress element (rotates with θ)
σ_1 — MPa
σ_2 — MPa
τ_max — MPa
θ_p —°
σ_vM — MPa
Sammanfattning.Summary. von Mises ⇒ σ_y² − 140σ_y − 34100 = 0 ⇒ σ_y ≈ 267 MPa. Huvudspänningar σ_1 = 306, σ_2 = 101, σ_3 = 0 ⇒ Tresca σ_T = 306 − 0 = 306 MPa. von Mises ⇒ σ_y² − 140σ_y − 34100 = 0 ⇒ σ_y ≈ 267 MPa. Principal stresses σ_1 = 306, σ_2 = 101, σ_3 = 0 ⇒ Tresca σ_T = 306 − 0 = 306 MPa.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.24 · von Mises (plan spänning): σ_e = √(σ_x² + σ_y² − σ_xσ_y + 3τ_xy²)von Mises (plane stress): σ_e = √(σ_x² + σ_y² − σ_xσ_y + 3τ_xy²)
  • KB s.24 · Tresca: σ_T = σ_max − σ_min (över σ_1, σ_2, σ_3)Tresca: σ_T = σ_max − σ_min (over σ_1, σ_2, σ_3)
Vanliga misstagCommon mistakes
M33-1_wrong_root
Väljer fel rot. Andragradsekvationen ger σ_y = 267,5 eller −127,5; frågan ber om det största, σ_y ≈ 267 MPa. Picking the wrong root. The quadratic gives σ_y = 267.5 or −127.5; the question asks for the largest, σ_y ≈ 267 MPa.
M33-2_tresca_sigma3
Räknar Tresca som σ_1 − σ_2 = 205. Men σ_3 = 0 < σ_2, så σ_min = 0 och σ_T = σ_1 − σ_3 = 306 MPa. Computing Tresca as σ_1 − σ_2 = 205. But σ_3 = 0 < σ_2, so σ_min = 0 and σ_T = σ_1 − σ_3 = 306 MPa.
M33-3_cross_term
Tappar korstermen −σ_xσ_y när von Mises kvadreras. Den ger −140·σ_y-termen i andragradsekvationen. Dropping the cross term −σ_xσ_y when squaring von Mises. It produces the −140·σ_y term in the quadratic.
3.4 fortsattninginteractive

Det plana spänningstillståndet σ_x = 50 MPa, σ_y = −10 MPa, τ_xy = 40 MPa råder i en kritisk punkt i en stålmaskindel. Stålets sträckgräns är σ_s = 250 MPa. Bestäm säkerhetsfaktorn mot flytning enligt a) det maximala skjuvspänningskriteriet (Tresca), och b) det maximala formändringsenergikriteriet (von Mises).

The plane stress state σ_x = 50 MPa, σ_y = −10 MPa, τ_xy = 40 MPa occurs at a critical point of a steel machine component. The steel's yield strength is σ_s = 250 MPa. Determine the factor of safety against yielding using a) the maximum-shearing-stress criterion (Tresca), and b) the maximum-distortion-energy criterion (von Mises).

VerklighetsanknytningReal-world context Det här är standardfrågan vid dimensionering: "håller komponenten, och med vilken marginal?". Tresca och von Mises ger olika svar. Här är tillståndet drag+tryck (σ_x > 0, σ_y < 0), vilket gör att huvudspänningarna ligger på var sin sida om noll — en lärorik kontrast mot fallet med två positiva huvudspänningar. This is the standard design question: "does the component hold, and with what margin?". Tresca and von Mises give different answers. Here the state is tension+compression (σ_x > 0, σ_y < 0), so the principal stresses lie on either side of zero — an instructive contrast to the case of two positive principal stresses.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: säkerhetsfaktorn mot flytning enligt a) det maximala skjuvspänningskriteriet (Tresca), och b) det maximala formändringsenergikriteriet (von Mises).You're asked to determine: the factor of safety against yielding using a) the maximum-shearing-stress criterion (Tresca), and b) the maximum-distortion-energy criterion (von Mises).

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Fri termisk förlängning δ_T = α·ΔT·LFree thermal elongation δ_T = α·ΔT·L
  • Begränsad termisk spänning σ = −E·α·ΔTConstrained thermal stress σ = −E·α·ΔT
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
  2. Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
  3. Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
  4. HuvudspänningarPrincipal stresses
  5. a) Maximala skjuvspänningskriteriet (Tresca)a) Maximum-shearing-stress criterion (Tresca)
  6. b) Maximala formändringsenergikriteriet (von Mises)b) Maximum-distortion-energy criterion (von Mises)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Mohr: σ_avg = 20, R = √(30² + 40²) = 50 ⇒ σ_1 = 70, σ_2 = −30, σ_3 = 0. Mohr: σ_avg = 20, R = √(30² + 40²) = 50 ⇒ σ_1 = 70, σ_2 = −30, σ_3 = 0.
2. Tresca: σ_eqv = 70 − (−30) = 100. von Mises: √(50² + 10² + 500 + 3·40²) = 88,9. Tresca: σ_eqv = 70 − (−30) = 100. von Mises: √(50² + 10² + 500 + 3·40²) = 88.9.
3. η_T = 250/100 = 2,5; η_vM = 250/88,9 = 2,81. η_T = 250/100 = 2.5; η_vM = 250/88.9 = 2.81.
≈ 14 min≈ 14 min · flytkriterium tresca von-mises säkerhetsfaktor plan-spänning

LösningSolution

Beräkna huvudspänningarna ur Mohrs cirkel (och σ_3 = 0). Tresca-spänningen är största minus minsta huvudspänning; här ligger σ_1 > 0 > σ_2, så de två i planet spänner redan över extremvärdena. von Mises byggs direkt ur σ_x, σ_y, τ_xy. Säkerhetsfaktorn är σ_s delat med respektive jämförelsespänning. Compute the principal stresses from Mohr's circle (and σ_3 = 0). The Tresca stress is the largest minus the smallest principal; here σ_1 > 0 > σ_2, so the two in-plane ones already span the extremes. von Mises is built directly from σ_x, σ_y, τ_xy. The safety factor is σ_s divided by the respective equivalent stress.
von Mises ger η = 2,81 ≥ Tresca η = 2,5 (Tresca är alltid den konservativare). Båda klart > 1, så komponenten håller med god marginal. von Mises gives η = 2.81 ≥ Tresca η = 2.5 (Tresca is always the more conservative). Both clearly > 1, so the component holds with good margin.
1. HuvudspänningarPrincipal stresses

Centrum σ_avg = (50 − 10)/2 = 20. Radie R = √(((50 − (−10))/2)² + 40²) = √(30² + 40²) = 50. Huvudspänningarna ligger på var sin sida om noll. Centre σ_avg = (50 − 10)/2 = 20. Radius R = √(((50 − (−10))/2)² + 40²) = √(30² + 40²) = 50. The principal stresses lie on either side of zero.

Ändrar σ_3 = 0 Tresca-spänningen i det här fallet? Does σ_3 = 0 change the Tresca stress in this case?
50%
Här är σ_1 = 70 > 0 > σ_2 = −30, så σ_3 = 0 ligger mellan dem. Då blir Tresca = σ_1 − σ_2 = 100 (till skillnad från fallet med två positiva huvudspänningar). Here σ_1 = 70 > 0 > σ_2 = −30, so σ_3 = 0 lies between them. Then Tresca = σ_1 − σ_2 = 100 (unlike the case of two positive principal stresses).
Spänningselement: σ_x = 50 MPa (drag), σ_y = −10 MPa (tryck), τ_xy = 40 MPa.Stress element: σ_x = 50 MPa (tension), σ_y = −10 MPa (compression), τ_xy = 40 MPa.
$$ \sigma_{avg} = 20\ \text{MPa}, \quad R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \text{MPa} $$
$$ \sigma_1 = 20 + 50 = 70, \quad \sigma_2 = 20 - 50 = -30, \quad \sigma_3 = 0 $$
2. a) Maximala skjuvspänningskriteriet (Tresca)a) Maximum-shearing-stress criterion (Tresca)

Tresca-spänningen är största minus minsta huvudspänning. Här σ_max = σ_1 = 70 och σ_min = σ_2 = −30. The Tresca stress is the largest minus the smallest principal. Here σ_max = σ_1 = 70 and σ_min = σ_2 = −30.

$$ \sigma_{eqv,T} = \sigma_{max} - \sigma_{min} = 70 - (-30) = 100\ \text{MPa} $$
$$ \eta_T = \dfrac{\sigma_s}{\sigma_{eqv,T}} = \dfrac{250}{100} = \boxed{2{,}5} $$
3. b) Maximala formändringsenergikriteriet (von Mises)b) Maximum-distortion-energy criterion (von Mises)

Bygg von Mises-spänningen direkt ur σ_x, σ_y, τ_xy. Observera att korstermen −σ_xσ_y blir POSITIV här (eftersom σ_y < 0). Build the von Mises stress directly from σ_x, σ_y, τ_xy. Note that the cross term −σ_xσ_y becomes POSITIVE here (because σ_y < 0).

$$ \sigma_{eqv,vM} = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2} = \sqrt{50^2 + (-10)^2 - 50\cdot(-10) + 3\cdot 40^2} $$
$$ = \sqrt{2500 + 100 + 500 + 4800} = \sqrt{7900} = 88{,}9\ \text{MPa} $$
$$ \eta_{vM} = \dfrac{\sigma_s}{\sigma_{eqv,vM}} = \dfrac{250}{88{,}9} = \boxed{2{,}81} $$

⭕ Mohrs cirkel — drag/tryck-tillståndMohr's circle — tension/compression state

Tillståndet σ_x = 50, σ_y = −10, τ_xy = 40 MPa. Cirkeln korsar σ-axeln på båda sidor: σ_1 = 70 (drag), σ_2 = −30 (tryck). Avläs σ_vM = 88,9 MPa i rutan. Tresca-spänningen är hela diametern σ_1 − σ_2 = 100 MPa eftersom σ_3 = 0 ligger inuti.The state σ_x = 50, σ_y = −10, τ_xy = 40 MPa. The circle crosses the σ-axis on both sides: σ_1 = 70 (tension), σ_2 = −30 (compression). Read σ_vM = 88.9 MPa in the box. The Tresca stress is the full diameter σ_1 − σ_2 = 100 MPa since σ_3 = 0 lies inside.

σ_x = 50 MPa
σ_y = -10 MPa
τ_xy = 40 MPa
θ = 0°
Mohrs cirkel (σ−τ plan)Mohr's circle (σ−τ plane)
Spännings­element (vrider med θ)Stress element (rotates with θ)
σ_1 — MPa
σ_2 — MPa
τ_max — MPa
θ_p —°
σ_vM — MPa
Sammanfattning.Summary. σ_1 = 70, σ_2 = −30, σ_3 = 0. Tresca σ_eqv = 100 ⇒ η_T = 2,5. von Mises σ_eqv = 88,9 ⇒ η_vM = 2,81. von Mises är mindre konservativ. σ_1 = 70, σ_2 = −30, σ_3 = 0. Tresca σ_eqv = 100 ⇒ η_T = 2.5. von Mises σ_eqv = 88.9 ⇒ η_vM = 2.81. von Mises is less conservative.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.24 · Tresca: σ_eqv = σ_max − σ_min; η = σ_s/σ_eqvTresca: σ_eqv = σ_max − σ_min; η = σ_s/σ_eqv
  • KB s.24 · von Mises (plan spänning): σ_eqv = √(σ_x² + σ_y² − σ_xσ_y + 3τ_xy²)von Mises (plane stress): σ_eqv = √(σ_x² + σ_y² − σ_xσ_y + 3τ_xy²)
Vanliga misstagCommon mistakes
M34-1_sigma3_here
Tror att σ_3 = 0 sänker σ_min till 0 (som i problem 3.1). Här ligger σ_2 = −30 redan under 0, så σ_min = −30 och Tresca = σ_1 − σ_2 = 100. Thinking σ_3 = 0 lowers σ_min to 0 (as in problem 3.1). Here σ_2 = −30 is already below 0, so σ_min = −30 and Tresca = σ_1 − σ_2 = 100.
M34-2_cross_sign
Tecknet på korstermen −σ_xσ_y. Med σ_y = −10 blir −σ_xσ_y = +500 (adderas, inte subtraheras). The sign of the cross term −σ_xσ_y. With σ_y = −10, −σ_xσ_y = +500 (added, not subtracted).
M34-3_eta_inverted
Inverterar säkerhetsfaktorn. η = σ_s/σ_eqv (> 1 = marginal mot flytning). Inverting the safety factor. η = σ_s/σ_eqv (> 1 = margin against yielding).

Prova själv — säkerhetsfaktorernaTry it yourself — the safety factors

Panelen gäller tillstånd där huvudspänningarna omger noll (σ_1 > 0 > σ_2), som här — då är Tresca-spänningen hela diametern 2R = √((σ_x − σ_y)² + 4τ_xy²). von Mises är alltid mindre, så η_vM ≥ η_T. The panel applies to states where the principal stresses straddle zero (σ_1 > 0 > σ_2), as here — then the Tresca stress is the full diameter 2R = √((σ_x − σ_y)² + 4τ_xy²). von Mises is always smaller, so η_vM ≥ η_T.

50 MPa
-10 MPa
40 MPa
250 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— MPa
— MPa
—
—
3.5 fortsattninginteractive

Ett tunnväggigt rör (mediandiameter d = 50 mm, väggtjocklek t = 2 mm) av en aluminiumlegering med sträckgränsen σ_s = 200 MPa belastas samtidigt av en axiell tryckkraft P = 40 kN och ett vridmoment T = 250 N·m. a) Bestäm jämförelsespänningen enligt von Mises och Tresca i en punkt på rörets yta. b) Bestäm säkerhetsfaktorn mot flytning. Om den understiger 1,5, modifiera geometrin så att F_s ≥ 1,5 uppfylls.

A thin-walled tube (mean diameter d = 50 mm, wall thickness t = 2 mm) of an aluminium alloy with yield strength σ_s = 200 MPa is loaded simultaneously by an axial compressive force P = 40 kN and a torque T = 250 N·m. a) Determine the equivalent stress according to von Mises and Tresca at a point on the tube surface. b) Determine the factor of safety against yielding. If it is below 1.5, modify the geometry so that F_s ≥ 1.5 is satisfied.

VerklighetsanknytningReal-world context Det här är arbetsgången i Inlämning 2 (Task 2): verkliga komponenter ser sällan ett färdigt spänningselement — du bygger det ur de faktiska lasterna (här axiallast + vridning), tillämpar ett flytkriterium, kontrollerar säkerhetsfaktorn, och dimensionerar om om den inte räcker. Kombinerad drag/tryck + vridning är det klassiska axelfallet. This is the workflow in Assignment 2 (Task 2): real components rarely present a finished stress element — you build it from the actual loads (axial load + torsion here), apply a yield criterion, check the safety factor, and resize if it is insufficient. Combined tension/compression + torsion is the classic shaft case.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: jämförelsespänningen enligt von Mises och Tresca i en punkt på rörets yta.You're asked to determine: the equivalent stress according to von Mises and Tresca at a point on the tube surface.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Fri termisk förlängning δ_T = α·ΔT·LFree thermal elongation δ_T = α·ΔT·L
  • Begränsad termisk spänning σ = −E·α·ΔTConstrained thermal stress σ = −E·α·ΔT
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
  2. Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
  3. Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
  4. Spänningar ur lasternaStresses from the loads
  5. a) Jämförelsespänningara) Equivalent stresses
  6. b) Säkerhetsfaktorb) Factor of safety
  7. Modifiera geometrinModify the geometry
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. σ_x = P/(πdt), τ = T/(2π(d/2)²t). Räkna ut båda först. σ_x = P/(πdt), τ = T/(2π(d/2)²t). Compute both first.
2. von Mises √(σ_x² + 3τ²) = 138,7; η_vM = 200/138,7 = 1,44 < 1,5. von Mises √(σ_x² + 3τ²) = 138.7; η_vM = 200/138.7 = 1.44 < 1.5.
3. Öka t: t_ny ≥ 2·138,7/133,3 = 2,08 → t = 2,5 mm ⇒ η_vM = 1,80. Increase t: t_new ≥ 2·138.7/133.3 = 2.08 → t = 2.5 mm ⇒ η_vM = 1.80.
≈ 22 min≈ 22 min · flytkriterium von-mises tresca kombinerad-last vridning säkerhetsfaktor dimensionering

LösningSolution

Bygg spänningstillståndet i en ytpunkt: axialspänningen σ_x = P/A (A = πdt för tunt rör) och vridskjuvningen τ = T/W_v (W_v = 2π(d/2)²t). I ytpunkten är σ_y = 0. Jämförelsespänningarna blir då von Mises √(σ_x² + 3τ²) och Tresca √(σ_x² + 4τ²). Säkerhetsfaktorn är σ_s/σ_eqv; understiger den 1,5, öka väggtjockleken (spänningarna ∝ 1/t). Build the stress state at a surface point: the axial stress σ_x = P/A (A = πdt for a thin tube) and the torsional shear τ = T/W_v (W_v = 2π(d/2)²t). At the surface point σ_y = 0. The equivalent stresses are then von Mises √(σ_x² + 3τ²) and Tresca √(σ_x² + 4τ²). The safety factor is σ_s/σ_eqv; if it falls below 1.5, increase the wall thickness (stresses ∝ 1/t).
Med t = 2 mm blir η ≈ 1,4 < 1,5 — för svagt. Eftersom både σ_x och τ är omvänt proportionella mot t räcker en ökning till t = 2,5 mm för att lyfta η till 1,8. von Mises ger som väntat en något högre (mindre konservativ) säkerhetsfaktor än Tresca. With t = 2 mm, η ≈ 1.4 < 1.5 — too weak. Since both σ_x and τ are inversely proportional to t, increasing to t = 2.5 mm is enough to raise η to 1.8. von Mises gives, as expected, a slightly higher (less conservative) safety factor than Tresca.
1. Spänningar ur lasternaStresses from the loads

Tvärsnittsarean för ett tunt rör är A = πdt. Axialspänningen är σ_x = P/A. Vridskjuvningen är τ = T/W_v med W_v = 2π(d/2)²t. The cross-sectional area of a thin tube is A = πdt. The axial stress is σ_x = P/A. The torsional shear is τ = T/W_v with W_v = 2π(d/2)²t.

Vilka spänningar verkar i en punkt på rörets yta? Which stresses act at a point on the tube surface?
50%
Vridmomentet ger en skjuvspänning τ i ytan, samtidigt som axiallasten ger σ_x. Det är just kombinationen σ + τ som flytkriteriet ska väga samman. The torque produces a shear stress τ in the surface, while the axial load gives σ_x. It is precisely this σ + τ combination that the yield criterion must weigh together.
Tunnväggigt rör fast inspänt, belastat av axiell tryckkraft P och vridmoment T. I en ytpunkt verkar axialspänningen σ_x och vridskjuvningen τ.Thin-walled tube fixed at one end, loaded by axial compressive force P and torque T. At a surface point the axial stress σ_x and the torsional shear τ act.
$$ A = \pi d t = \pi\cdot 50\cdot 2 = 314{,}2\ \text{mm}^2, \quad \sigma_x = \dfrac{P}{A} = \dfrac{40\,000}{314{,}2} = 127{,}3\ \text{MPa} $$
$$ W_v = 2\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 t = 7854\ \text{mm}^3, \quad \tau = \dfrac{T}{W_v} = \dfrac{250\,000}{7854} = 31{,}8\ \text{MPa} $$
2. a) Jämförelsespänningara) Equivalent stresses

I ytpunkten är σ_y = 0, så von Mises och Tresca reduceras till de bekanta σ-τ-formerna. At the surface point σ_y = 0, so von Mises and Tresca reduce to the familiar σ-τ forms.

$$ \sigma_{vM} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau^2} = \sqrt{127{,}3^2 + 3\cdot 31{,}8^2} = 138{,}7\ \text{MPa} $$
$$ \sigma_T = \sqrt{\sigma_x^2 + 4\tau^2} = \sqrt{127{,}3^2 + 4\cdot 31{,}8^2} = 142{,}3\ \text{MPa} $$
3. b) Säkerhetsfaktorb) Factor of safety

Dela sträckgränsen med jämförelsespänningen. Båda hamnar under kravet 1,5 — geometrin måste förstärkas. Divide the yield strength by the equivalent stress. Both fall below the requirement 1.5 — the geometry must be strengthened.

Säkerhetsfaktorn är för låg. Vilken geometriändring hjälper enklast? The safety factor is too low. Which geometry change helps most simply?
50%
Både σ_x och τ är ~ 1/t, så en tjockare vägg sänker spänningarna direkt. Att minska d skulle tvärtom ÖKA vridskjuvningen (τ ∝ 1/d²). Both σ_x and τ are ~ 1/t, so a thicker wall lowers the stresses directly. Decreasing d would instead INCREASE the torsional shear (τ ∝ 1/d²).
$$ \eta_{vM} = \dfrac{\sigma_s}{\sigma_{vM}} = \dfrac{200}{138{,}7} = 1{,}44 < 1{,}5 $$
$$ \eta_T = \dfrac{\sigma_s}{\sigma_T} = \dfrac{200}{142{,}3} = 1{,}41 < 1{,}5 \;\Rightarrow\; \text{otillräckligt} $$
4. Modifiera geometrinModify the geometry

Eftersom spänningarna är omvänt proportionella mot t skalar jämförelsespänningen som t/t_ny. Kräv η_vM ≥ 1,5 (dvs σ_vM ≤ 200/1,5 = 133,3) och lös ut den nya tjockleken; välj nästa hela halvmillimeter. Since the stresses are inversely proportional to t, the equivalent stress scales as t/t_new. Require η_vM ≥ 1.5 (i.e. σ_vM ≤ 200/1.5 = 133.3) and solve for the new thickness; choose the next half-millimetre.

$$ t_{ny} \ge t\cdot\dfrac{\sigma_{vM}}{\sigma_s/1{,}5} = 2\cdot\dfrac{138{,}7}{133{,}3} = 2{,}08\ \text{mm} \;\Rightarrow\; \boxed{t = 2{,}5\ \text{mm}} $$
$$ \text{Kontroll: } \sigma_{vM} = 111{,}0\ \text{MPa}, \quad \eta_{vM} = \dfrac{200}{111{,}0} = 1{,}80 \ge 1{,}5 \;\checkmark $$

⭕ Mohrs cirkel — ytpunktens σ + τMohr's circle — the surface point's σ + τ

Ytpunktens tillstånd (t = 2 mm): σ_x = −127,3 MPa (tryck), τ = 31,8 MPa. Avläs σ_vM = 138,7 MPa i rutan — det är denna jämförelsespänning som ska jämföras med σ_s = 200 MPa. Huvudspänningarna blir σ_1 ≈ 7,5 och σ_2 ≈ −134,8 MPa.The surface point's state (t = 2 mm): σ_x = −127.3 MPa (compression), τ = 31.8 MPa. Read σ_vM = 138.7 MPa in the box — this is the equivalent stress to compare with σ_s = 200 MPa. The principal stresses are σ_1 ≈ 7.5 and σ_2 ≈ −134.8 MPa.

σ_x = -127.3 MPa
σ_y = 0 MPa
τ_xy = 31.8 MPa
θ = 0°
Mohrs cirkel (σ−τ plan)Mohr's circle (σ−τ plane)
Spännings­element (vrider med θ)Stress element (rotates with θ)
σ_1 — MPa
σ_2 — MPa
τ_max — MPa
θ_p —°
σ_vM — MPa
Sammanfattning.Summary. σ_x = P/(πdt) = 127,3 MPa, τ = T/(2π(d/2)²t) = 31,8 MPa. von Mises 138,7, Tresca 142,3 MPa ⇒ η ≈ 1,4 < 1,5. Öka t från 2 till 2,5 mm ⇒ σ_vM = 111 MPa, η_vM = 1,80 ≥ 1,5. σ_x = P/(πdt) = 127.3 MPa, τ = T/(2π(d/2)²t) = 31.8 MPa. von Mises 138.7, Tresca 142.3 MPa ⇒ η ≈ 1.4 < 1.5. Increase t from 2 to 2.5 mm ⇒ σ_vM = 111 MPa, η_vM = 1.80 ≥ 1.5.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.16 · Axialspänning σ = N/A; tunt rör A = πdtAxial stress σ = N/A; thin tube A = πdt
  • KB s.20 · Vridning, tunt rör: τ = T/W_v, W_v = 2π(d/2)²tTorsion, thin tube: τ = T/W_v, W_v = 2π(d/2)²t
  • KB s.24 · Kombinerad σ + τ: von Mises √(σ² + 3τ²), Tresca √(σ² + 4τ²)Combined σ + τ: von Mises √(σ² + 3τ²), Tresca √(σ² + 4τ²)
Vanliga misstagCommon mistakes
M35-1_no_shear
Glömmer vridskjuvningen och räknar bara σ_x. Vridmomentet ger en τ i ytan som måste vägas in i jämförelsespänningen. Forgetting the torsional shear and using only σ_x. The torque produces a τ in the surface that must enter the equivalent stress.
M35-2_decrease_d
Minskar diametern för att förstärka. Det ÖKAR vridskjuvningen (τ ∝ 1/d²). Öka i stället väggtjockleken t. Decreasing the diameter to strengthen. That INCREASES the torsional shear (τ ∝ 1/d²). Increase the wall thickness t instead.
M35-3_full_section
Använder massiv-axelformler (W_v = πd³/16). För ett TUNT rör gäller A = πdt och W_v = 2π(d/2)²t. Using solid-shaft formulas (W_v = πd³/16). For a THIN tube, A = πdt and W_v = 2π(d/2)²t.

Prova själv — last, geometri och säkerhetsfaktorTry it yourself — load, geometry and safety factor

Dra i väggtjockleken t och se säkerhetsfaktorn stiga (spänningarna ∝ 1/t). Vid t = 2,5 mm passerar η_vM kravet 1,5. Prova även att ändra last eller diameter. Drag the wall thickness t and watch the safety factor rise (stresses ∝ 1/t). At t = 2.5 mm η_vM passes the requirement 1.5. Try changing the load or diameter too.

40 kN
250 N·m
50 mm
2 mm
200 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— MPa
— MPa
— MPa
—
—
KällaSource: Alexander Barlo, Blekinge Institute of Technology — Department of Mechanical Engineering, Structural Mechanics Research Lab — https://www.bth.se.
FormelreferensFormula reference: KB = Formulas and Tables for Mechanical Construction, Karl Björk, Björks förlag (https://bjorksforlag.se). Formler från Karl Björks bok refereras som 'KB s.17' där s.17 betyder sida 17 i åttonde upplagan.Formulas from Karl Björk's handbook are referenced as 'KB s.17' where s.17 means page 17 in the 8th edition.
Originalfigurer © Alexander Barlo / BTH. Friförkroppsdiagrammen är omritade som inline SVG. Endast för intern granskning av MT1566-teamet vid BTH. Original figures © Alexander Barlo / BTH. Free-body diagrams are redrawn as inline SVG. For internal BTH MT1566 review only.