HemHome

MT1566 · Hållfasthetslära fortsättningskurs

Chapter 4: UtmattningFatigue · Week 5 · 8 problems
⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Alexander Barlos lösningsmanual som källa tills vidare version. ⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Alexander Barlo's solution manual as the authoritative source until a later version.
4.1 fortsattninginteractive

En generator roterar med varvtalet 3000 rpm. Bestäm antalet lastcykler N som axeln utsätts för på grund av sin egenvikt. Maskinen är i drift 7000 timmar per år under 20 år.

A generator rotates at 3000 rpm. Determine the number of loading cycles N the axle is subjected to due to its own weight. The machine operates 7000 hours per year for 20 years.

VerklighetsanknytningReal-world context En roterande axel som hänger i sina lager böjs av sin egen tyngd. För en punkt på ytan växlar spänningen mellan drag och tryck EN gång per varv — det är roterande böjning, det vanligaste utmattningslastfallet. Att räkna ihop antalet cykler över maskinens livslängd är första steget i all utmattningsdimensionering. A rotating axle hanging in its bearings is bent by its own weight. For a point on the surface, the stress alternates between tension and compression ONCE per revolution — this is rotating bending, the most common fatigue load case. Counting the total number of cycles over the machine's life is the first step in any fatigue assessment.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: antalet lastcykler N som axeln utsätts för på grund av sin egenvikt.You're asked to determine: the number of loading cycles N the axle is subjected to due to its own weight.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. Varv per timmeRevolutions per hour
  6. Totalt antal cyklerTotal number of cycles
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Roterande böjning: 1 cykel per varv. Räkna först varv per timme: 3000·60. Rotating bending: 1 cycle per revolution. First count revolutions per hour: 3000·60.
2. N = (varv/h) · (h/år) · (år) = 180 000 · 7000 · 20. N = (rev/h) · (h/yr) · (yr) = 180 000 · 7000 · 20.
3. N = 25,2·10⁹ cykler. N = 25.2·10⁹ cycles.
≈ 8 min≈ 8 min · utmattning lastcykler roterande-böjning livslängd

LösningSolution

Roterande böjning ger exakt en spänningscykel per varv. Räkna antalet varv per timme, multiplicera med drifttid per år och antal år. Rotating bending gives exactly one stress cycle per revolution. Count the revolutions per hour, multiply by the operating time per year and the number of years.
25,2·10⁹ cykler är miljardklassen — typiskt för en kontinuerligt roterande maskin över decennier, vilket är varför utmattning (inte statisk styrka) styr dimensioneringen av axlar. 25.2·10⁹ cycles is in the billions — typical for a continuously rotating machine over decades, which is why fatigue (not static strength) governs the design of axles.
1. Varv per timmeRevolutions per hour

Varvtalet 3000 rpm är varv per minut. Multiplicera med 60 för varv per timme. The speed 3000 rpm is revolutions per minute. Multiply by 60 for revolutions per hour.

Hur många spänningscykler motsvarar ETT varv för en roterande, egenviktsböjd axel? How many stress cycles does ONE revolution correspond to for a rotating, self-weight-bent axle?
50%
En ytpunkt går drag → tryck → drag exakt en gång per varv: en full cykel per varv. A surface point goes tension → compression → tension exactly once per revolution: one full cycle per revolution.
Roterande axel i två lager, böjd av egenvikten W. En punkt på ytan får en full drag–tryck-cykel per varv.Rotating axle in two bearings, bent by its self-weight W. A surface point sees one full tension–compression cycle per revolution.
$$ N_{hr} = v \cdot 60 = 3000 \cdot 60 = 180\,000\ \text{varv/h} $$
2. Totalt antal cyklerTotal number of cycles

Multiplicera varv/h med drifttiden per år och antalet år. Multiply revolutions/h by the operating time per year and the number of years.

$$ N = N_{hr} \cdot t \cdot L_t = 180\,000 \cdot 7000 \cdot 20 $$
$$ \boxed{N = 25{,}2 \times 10^{9}\ \text{cykler}} $$
Sammanfattning.Summary. 180 000 varv/h × 7000 h/år × 20 år = 25,2·10⁹ lastcykler. 180 000 rev/h × 7000 h/yr × 20 yr = 25.2·10⁹ loading cycles.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.45 · Utmattning: roterande böjning, en cykel per varvFatigue: rotating bending, one cycle per revolution
Vanliga misstagCommon mistakes
M41-1_two_per_rev
Antar två cykler per varv. Roterande böjning ger EN full drag–tryck-cykel per varv. Assuming two cycles per revolution. Rotating bending gives ONE full tension–compression cycle per revolution.
M41-2_minutes_hours
Glömmer att rpm är per MINUT. Multiplicera med 60 för att få varv per timme innan du multiplicerar med drifttiden i timmar. Forgetting that rpm is per MINUTE. Multiply by 60 to get revolutions per hour before multiplying by the operating time in hours.

Prova själv — varvtal, drifttid och livslängdTry it yourself — speed, operating time and life

Antalet cykler växer linjärt med alla tre faktorerna. Redan måttliga varvtal ger miljardtals cykler över en maskins livslängd. The number of cycles grows linearly with all three factors. Even modest speeds give billions of cycles over a machine's life.

3000 rpm
7000 h/år
20 år
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— varv/h
— ×10⁹ cykler
4.2 fortsattninginteractive

Uppskatta utmattningsgränsen i drag/tryck för alternerande och pulserande last för ett stål (ungefär SS 2225) med brottgränsen σ_U = 810 MPa. Vid en undersökning av ett liknande material fann man sambanden σ_FL = 0,468·σ_U ± 50 MPa och σ_FLP ≅ 0,85·σ_FL. Använd dessa samband och andra 'tumregler' för att uppskatta utmattningsgränserna (alternerande och pulserande).

Estimate the fatigue limit in tension/compression for alternating and pulsating loading of a steel (approximately SS 2225) with ultimate strength σ_U = 810 MPa. An investigation of a similar material found the relations σ_FL = 0.468·σ_U ± 50 MPa and σ_FLP ≅ 0.85·σ_FL. Use these relations and other 'thumb rules' to estimate the fatigue limits (alternating and pulsating).

VerklighetsanknytningReal-world context Utmattningsgränser tabelleras sällan exakt för just ditt material och lastfall — du tvingas uppskatta med tumregler och scatter-band, och sedan välja konservativt ("hängslen och livrem"). Det här problemet visar hur en erfaren konstruktör triangulerar flera samband till ett tryggt designvärde. Fatigue limits are rarely tabulated exactly for your specific material and load case — you must estimate with thumb rules and scatter bands, then choose conservatively ("belt and braces"). This problem shows how an experienced engineer triangulates several relations into a safe design value.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. Det givna sambandet (scatter-band)The given relation (scatter band)
  6. Korskontroll mot andra tumreglerCross-check against other thumb rules
  7. Konservativt val (alternerande)Conservative choice (alternating)
  8. Pulserande utmattningsgränsPulsating fatigue limit
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Sätt in σ_U = 810 i 0,468·σ_U ± 50 → 380 ± 50 MPa. Substitute σ_U = 810 into 0.468·σ_U ± 50 → 380 ± 50 MPa.
2. Korskontrollera med 0,38–0,45·σ_U och σ_FL ≅ 0,8·σ_FLR → 250–290 MPa. Cross-check with 0.38–0.45·σ_U and σ_FL ≅ 0.8·σ_FLR → 250–290 MPa.
3. Konservativt: σ_FL = 280, σ_FLP = 0,85·280 ≈ 240 ± 240 MPa. Conservative: σ_FL = 280, σ_FLP = 0.85·280 ≈ 240 ± 240 MPa.
≈ 16 min≈ 16 min · utmattning utmattningsgräns tummregler alternerande pulserande

LösningSolution

Tillämpa det givna sambandet för att få ett scatter-band, korsa det med andra ingenjörsmässiga tumregler (σ_FLR mellan 0,38·σ_U och 0,45·σ_U; σ_FL ≅ 0,8·σ_FLR), och välj sedan ett konservativt värde inom överlappet. Pulserande gräns fås ur σ_FLP ≅ 0,85·σ_FL. Apply the given relation to get a scatter band, cross-check it against other engineering thumb rules (σ_FLR between 0.38·σ_U and 0.45·σ_U; σ_FL ≅ 0.8·σ_FLR), then pick a conservative value within the overlap. The pulsating limit follows from σ_FLP ≅ 0.85·σ_FL.
Alla tumregler hamnar i intervallet ≈ 250–430 MPa. Det konservativa valet σ_FL = 280 MPa ligger i den nedre delen av överlappet — säkert men inte orimligt lågt. All thumb rules land in the range ≈ 250–430 MPa. The conservative choice σ_FL = 280 MPa sits at the lower part of the overlap — safe but not unreasonably low.
1. Det givna sambandet (scatter-band)The given relation (scatter band)

Sätt in σ_U i det givna sambandet. ±50 anger spridningen. Substitute σ_U into the given relation. The ±50 indicates the scatter.

Vilket värde bör en konstruktör till slut välja inom scatter-bandet? Which value should a designer ultimately pick within the scatter band?
50%
Vid utmattning väljer man konservativt — ett lågt värde inom bandet ger marginal mot den naturliga spridningen i utmattningsdata. For fatigue you choose conservatively — a low value within the band gives margin against the natural scatter in fatigue data.
$$ \sigma_{FL} = 0{,}468\cdot 810 \pm 50 = 380 \pm 50\ \text{MPa} \quad (330\text{–}430) $$
2. Korskontroll mot andra tumreglerCross-check against other thumb rules

En annan regel: roterande-böjgränsen σ_FLR ligger mellan 0,38·σ_U (hårt material) och 0,45·σ_U (mjukt). Drag/tryck-gränsen är ungefär σ_FL ≅ 0,8·σ_FLR. Another rule: the rotating-bending limit σ_FLR lies between 0.38·σ_U (hard material) and 0.45·σ_U (soft). The tension/compression limit is roughly σ_FL ≅ 0.8·σ_FLR.

$$ \sigma_{FLR} = 0{,}38\cdot 810 = 308\ \text{till}\ 0{,}45\cdot 810 = 365\ \text{MPa} $$
$$ \sigma_{FL} \approx 0{,}8\cdot \sigma_{FLR} = 250\ \text{till}\ 290\ \text{MPa} $$
3. Konservativt val (alternerande)Conservative choice (alternating)

Överlappet mellan de olika reglerna pekar mot den nedre delen. "Hängslen och livrem": välj 280 MPa. The overlap between the rules points to the lower part. "Belt and braces": choose 280 MPa.

$$ \boxed{\sigma_{FL} = 280\ \text{MPa} \quad (\text{alternerande})} $$
4. Pulserande utmattningsgränsPulsating fatigue limit

Pulserande (R = 0): amplituden är 0,85 gånger den alternerande. Uttryckt som medel ± amplitud blir lasten 240 ± 240 MPa (dvs 0 till 480 MPa). Pulsating (R = 0): the amplitude is 0.85 times the alternating one. Expressed as mean ± amplitude the load is 240 ± 240 MPa (i.e. 0 to 480 MPa).

$$ \sigma_{FLP} = 0{,}85\cdot \sigma_{FL} = 0{,}85\cdot 280 \approx 240\ \text{MPa} $$
$$ \boxed{\sigma_{FLP} = 240 \pm 240\ \text{MPa} \quad (\text{pulserande, } R=0)} $$
Sammanfattning.Summary. Triangulering av flera tumregler ger σ_FL ≈ 280 MPa (alternerande, konservativt vald). Pulserande: σ_FLP = 0,85·280 ≈ 240 MPa, dvs 240 ± 240 MPa. Triangulating several thumb rules gives σ_FL ≈ 280 MPa (alternating, conservatively chosen). Pulsating: σ_FLP = 0.85·280 ≈ 240 MPa, i.e. 240 ± 240 MPa.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.45 · Utmattningsgräns, tumregler σ_FL ≈ 0,4–0,5·σ_UFatigue limit, thumb rules σ_FL ≈ 0.4–0.5·σ_U
  • KB s.46 · Pulserande vs alternerande: σ_FLP ≅ 0,85·σ_FLPulsating vs alternating: σ_FLP ≅ 0.85·σ_FL
Vanliga misstagCommon mistakes
M42-1_pick_mid
Väljer mittvärdet av scatter-bandet. Vid utmattning väljer man konservativt (lågt), eftersom spridningen i utmattningsdata är stor. Picking the midpoint of the scatter band. For fatigue one chooses conservatively (low), because the scatter in fatigue data is large.
M42-2_bending_vs_tc
Blandar ihop roterande-böjgränsen med drag/tryck-gränsen. Drag/tryck är lägre, ungefär 0,8 gånger böjgränsen. Confusing the rotating-bending limit with the tension/compression limit. Tension/compression is lower, roughly 0.8 times the bending limit.
M42-3_puls_notation
Missförstår '240 ± 240'. Det betyder medelspänning 240 och amplitud 240, dvs lasten pendlar mellan 0 och 480 MPa (R = 0). Misreading '240 ± 240'. It means mean stress 240 and amplitude 240, i.e. the load swings between 0 and 480 MPa (R = 0).

Prova själv — tumreglerna mot brottgränsenTry it yourself — the thumb rules vs the ultimate strength

Se hur de olika reglerna för utmattningsgränsen skalar med σ_U. Spridningen mellan dem är just därför man väljer konservativt. See how the various fatigue-limit rules scale with σ_U. The spread between them is exactly why one chooses conservatively.

810 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— MPa
— MPa
— MPa
4.3 fortsattninginteractive

Skissa Wöhler-kurvan (SN, Stress-Number) för en normaliserad 37MnSi5-stålstav med brottgränsen σ_U = 810 MPa, belastad med ett roterande böjmoment. Vid en undersökning av ett liknande material fann man: σ_FLR ≅ 0,45·σ_U ger N ≥ 10⁶ cykler; σ_FLR ≅ 0,9·σ_U ger N = 1000 cykler; σ_FLR = σ_U ger N = 1 cykel.

Sketch the Wöhler (SN, Stress-Number) curve for a normalised 37MnSi5 steel bar with ultimate strength σ_U = 810 MPa, loaded by a rotating bending moment. An investigation of a similar material found: σ_FLR ≅ 0.45·σ_U yields N ≥ 10⁶ cycles; σ_FLR ≅ 0.9·σ_U yields N = 1000 cycles; σ_FLR = σ_U yields N = 1 cycle.

VerklighetsanknytningReal-world context Wöhler-kurvan (S-N-kurvan) är utmattningens grundkarta: den kopplar spänningsamplitud till antal cykler till brott, ritad med logaritmisk cykelaxel. Den platta delen till höger är utmattningsgränsen — under den håller materialet i praktiken för evigt. Varje utmattningsberäkning i kapitlet bygger på en sådan kurva. The Wöhler curve (S-N curve) is the master map of fatigue: it links stress amplitude to the number of cycles to failure, plotted with a logarithmic cycle axis. The flat part on the right is the fatigue limit — below it the material lasts essentially forever. Every fatigue calculation in this chapter builds on such a curve.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. De tre stödpunkternaThe three anchor points
  6. Rita S-N-kurvanDraw the S-N curve
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Räkna ut σ_U, 0,9σ_U och 0,45σ_U = 810, 729, 365 MPa. Compute σ_U, 0.9σ_U and 0.45σ_U = 810, 729, 365 MPa.
2. Plotta vid N = 1, 10³, 10⁶ på en logaritmisk N-axel och förbind. Plot at N = 1, 10³, 10⁶ on a logarithmic N-axis and connect.
3. Dra en vågrät linje vid 0,45σ_U = 365 MPa för N ≥ 10⁶ (utmattningsgränsen). Draw a horizontal line at 0.45σ_U = 365 MPa for N ≥ 10⁶ (the fatigue limit).
≈ 12 min≈ 12 min · utmattning wöhler-kurva sn-kurva utmattningsgräns log-skala

LösningSolution

Räkna ut de tre spänningsnivåerna ur σ_U och rita in punkterna på ett diagram med logaritmisk N-axel. Förbind punkterna med räta linjer (i log-skala) och dra en vågrät linje vid utmattningsgränsen 0,45·σ_U för N ≥ 10⁶. Compute the three stress levels from σ_U and plot the points on a diagram with a logarithmic N-axis. Connect the points with straight lines (in log scale) and draw a horizontal line at the fatigue limit 0.45·σ_U for N ≥ 10⁶.
Kurvan börjar vid σ_U (brott på första lasten, N=1), faller brant i låg-cykelområdet och planar ut vid utmattningsgränsen 0,45·σ_U = 365 MPa bortom 10⁶ cykler — den klassiska formen. The curve starts at σ_U (failure on the first load, N=1), drops steeply in the low-cycle region and flattens at the fatigue limit 0.45·σ_U = 365 MPa beyond 10⁶ cycles — the classic shape.
1. De tre stödpunkternaThe three anchor points

Räkna ut spänningen vid varje given cykelantal ur σ_U = 810 MPa. Compute the stress at each given cycle count from σ_U = 810 MPa.

Vad händer med kurvan för N större än 10⁶ cykler? What happens to the curve for N greater than 10⁶ cycles?
50%
För stål finns en utmattningsgräns: under 0,45·σ_U håller materialet i praktiken oändligt, så kurvan blir vågrät bortom ≈10⁶ cykler. For steel there is a fatigue limit: below 0.45·σ_U the material lasts essentially forever, so the curve goes horizontal beyond ≈10⁶ cycles.
$$ N=1: \ \sigma = \sigma_U = 810\ \text{MPa} $$
$$ N=10^3: \ \sigma = 0{,}9\,\sigma_U = 729\ \text{MPa} $$
$$ N\ge 10^6: \ \sigma = 0{,}45\,\sigma_U = 365\ \text{MPa}\ (\text{utmattningsgräns}) $$
2. Rita S-N-kurvanDraw the S-N curve

Plotta de tre punkterna på en logaritmisk N-axel och förbind dem. Den vågräta delen markerar utmattningsgränsen. Plot the three points on a logarithmic N-axis and connect them. The horizontal part marks the fatigue limit.

Wöhler-kurva (S-N): spänningsamplitud mot antal cykler (logaritmisk N-axel). Kopparkurvan faller från σ_U till utmattningsgränsen 0,45·σ_U och planar sedan ut.Wöhler curve (S-N): stress amplitude vs number of cycles (logarithmic N-axis). The copper curve drops from σ_U to the fatigue limit 0.45·σ_U and then flattens.
$$ \sigma(N) = -121{,}5\,\log_{10} N + 1093{,}5\ \text{MPa} \quad (1 \le N \le 10^6) $$
Sammanfattning.Summary. Tre punkter: (N=1, σ_U), (10³, 0,9σ_U), (10⁶, 0,45σ_U). Förbundna i log-skala och vågrät bortom 10⁶ ger den klassiska Wöhler-kurvan; den linjära delen är σ(N) = −121,5·log N + 1093,5 MPa. Three points: (N=1, σ_U), (10³, 0.9σ_U), (10⁶, 0.45σ_U). Connected in log scale and horizontal beyond 10⁶ gives the classic Wöhler curve; the linear part is σ(N) = −121.5·log N + 1093.5 MPa.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.45 · Wöhler-/S-N-kurva, logaritmisk cykelaxelWöhler/S-N curve, logarithmic cycle axis
Vanliga misstagCommon mistakes
M43-1_no_limit
Ritar kurvan fallande mot noll. Stål har en utmattningsgräns — kurvan planar ut vågrätt bortom ≈10⁶ cykler. Drawing the curve falling toward zero. Steel has a fatigue limit — the curve flattens horizontally beyond ≈10⁶ cycles.
M43-2_linear_N
Ritar med linjär N-axel. Wöhler-kurvan ritas alltid med logaritmisk cykelaxel (annars ryms inte 1 till 10⁹). Drawing with a linear N-axis. The Wöhler curve is always drawn with a logarithmic cycle axis (otherwise 1 to 10⁹ doesn't fit).

Prova själv — stödpunkternas spänningsnivåerTry it yourself — the anchor stress levels

Ändra brottgränsen och se hur de tre nivåerna i Wöhler-kurvan skalar med σ_U. Change the ultimate strength and see how the three levels of the Wöhler curve scale with σ_U.

810 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— MPa
— MPa
— MPa
4.4 fortsattninginteractive

Två axlar med samma geometri (men olika storlek) tillverkas av det normaliserade stålet SS 1650-01 (σ_U = 590 MPa). Axeldiametrarna är 10 respektive 100 mm. Den ena axeln bearbetades ur ett råämne med diametern 15 mm och den andra ur ett råämne med diametern 120 mm. Lasten är roterande böjning. Uppskatta förhållandet mellan de reducerade utmattningsgränserna för de två axlarna om de har samma ytfinhet.

Two axles with the same geometry (but different size) are machined from normalised steel SS 1650-01 (σ_U = 590 MPa). The axle diameters are 10 and 100 mm. One axle was machined from a 15 mm raw bar, the other from a 120 mm raw bar. The loading is rotating bending. Estimate the ratio of the reduced fatigue limits of the two axles if they have the same surface finish.

VerklighetsanknytningReal-world context Den 'utmattningsgräns' man mäter på en liten provstav gäller inte rakt av för en stor komponent — större delar har fler och större defekter och en större volym under hög spänning. Därför multipliceras grundgränsen med reduktionsfaktorer för storlek, belastad volym och ytfinhet. Den här uppgiften visar varför en STÖRRE axel av samma stål tål en LÄGRE spänning. The 'fatigue limit' measured on a small specimen does not apply directly to a large component — bigger parts have more and larger defects and a larger highly-stressed volume. The base limit is therefore multiplied by reduction factors for size, loaded volume and surface finish. This problem shows why a LARGER axle of the same steel withstands a LOWER stress.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. Reduktionsfaktorer per fallReduction factors per case
  6. Samlade faktorer och kvotCollected factors and ratio
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. σ_FL,red = λ·δ·κ·σ_FL. Slå upp λ (råämne) och δ (axeldiameter) för båda fallen. σ_FL,red = λ·δ·κ·σ_FL. Look up λ (raw bar) and δ (axle diameter) for both cases.
2. Fall I: 1,0·1,0. Fall II: 0,8·0,9. κ är lika och förkortas. Case I: 1.0·1.0. Case II: 0.8·0.9. κ is equal and cancels.
3. Kvot = 0,72κ / 1,0κ = 0,72. Ratio = 0.72κ / 1.0κ = 0.72.
≈ 12 min≈ 12 min · utmattning reduktionsfaktorer storlekseffekt ytfinhet

LösningSolution

Den reducerade utmattningsgränsen är σ_FL,red = λ·δ·κ·σ_FL, där λ = storleksfaktor (råämnets dimension), δ = faktor för belastad volym (axelns diameter) och κ = ytfinhetsfaktor. Bilda produkten för varje fall och ta kvoten; ytfaktorn κ är lika och förkortas bort. The reduced fatigue limit is σ_FL,red = λ·δ·κ·σ_FL, where λ = size factor (raw-bar dimension), δ = loaded-volume factor (axle diameter) and κ = surface-finish factor. Form the product for each case and take the ratio; the surface factor κ is equal and cancels.
Den större axeln (case II) får faktorn 0,72 mot 1,0 för den lilla — alltså 28 % lägre utmattningsgräns. Större komponent ⇒ lägre tillåten spänning, precis som storlekseffekten förutsäger. The larger axle (case II) gets factor 0.72 vs 1.0 for the small one — i.e. a 28 % lower fatigue limit. Larger component ⇒ lower allowable stress, exactly as the size effect predicts.
1. Reduktionsfaktorer per fallReduction factors per case

Slå upp faktorerna i diagrammen. Storleksfaktorn λ beror på råämnets dimension (15 resp. 120 mm); volymfaktorn δ på axelns diameter (10 resp. 100 mm). Ytfinheten κ är samma. Look up the factors in the diagrams. The size factor λ depends on the raw-bar dimension (15 vs 120 mm); the volume factor δ on the axle diameter (10 vs 100 mm). The surface finish κ is the same.

Vilken axel har den LÄGRE reducerade utmattningsgränsen? Which axle has the LOWER reduced fatigue limit?
50%
Storlekseffekten gör den större axeln svagare i utmattning: faktorerna 0,8·0,9 = 0,72 mot 1,0. The size effect makes the larger axle weaker in fatigue: factors 0.8·0.9 = 0.72 vs 1.0.
$$ \text{Storlek: } \lambda^{(I)} = 1{,}0, \quad \lambda^{(II)} \approx 0{,}8 $$
$$ \text{Belastad volym: } \delta^{(I)} = 1{,}0, \quad \delta^{(II)} \approx 0{,}9 $$
$$ \text{Ytfinhet: } \kappa^{(I)} = \kappa^{(II)} = \kappa $$
2. Samlade faktorer och kvotCollected factors and ratio

Multiplicera faktorerna för varje fall och ta kvoten. κ förkortas. Multiply the factors for each case and take the ratio. κ cancels.

$$ \text{Fall I: } \lambda^{(I)}\delta^{(I)}\kappa = 1{,}0\cdot 1{,}0\cdot \kappa = 1{,}0\,\kappa $$
$$ \text{Fall II: } \lambda^{(II)}\delta^{(II)}\kappa = 0{,}8\cdot 0{,}9\cdot \kappa = 0{,}72\,\kappa $$
$$ \dfrac{\sigma_{FL}^{\,red,\,II}}{\sigma_{FL}^{\,red,\,I}} = \dfrac{0{,}72\,\kappa}{1{,}0\,\kappa} = \boxed{0{,}72} $$
Sammanfattning.Summary. Fall I: 1,0·1,0·κ. Fall II: 0,8·0,9·κ = 0,72κ. Kvoten = 0,72 — den större axeln har 28 % lägre utmattningsgräns. Case I: 1.0·1.0·κ. Case II: 0.8·0.9·κ = 0.72κ. The ratio = 0.72 — the larger axle has a 28 % lower fatigue limit.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.47 · Reduktionsfaktorer: storlek λ, belastad volym δ, ytfinhet κReduction factors: size λ, loaded volume δ, surface finish κ
Vanliga misstagCommon mistakes
M44-1_bigger_stronger
Antar att den större axeln tål mer. I utmattning är det tvärtom: storlekseffekten SÄNKER utmattningsgränsen för större delar. Assuming the larger axle withstands more. In fatigue it is the opposite: the size effect LOWERS the fatigue limit for larger parts.
M44-2_forgot_cancel
Försöker hitta κ. Eftersom ytfinheten är lika förkortas κ i kvoten — du behöver aldrig dess värde. Trying to find κ. Since the surface finish is equal, κ cancels in the ratio — you never need its value.

Prova själv — storleks- och volymfaktorernaTry it yourself — the size and volume factors

Kvoten är produkten av storleks- och volymfaktorn för den stora axeln (den lilla har 1,0·1,0). Ytfaktorn κ förkortas alltid när finishen är lika. The ratio is the product of the size and volume factors for the large axle (the small one is 1.0·1.0). The surface factor κ always cancels when the finish is equal.

0.8
0.9
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
—
4.5 fortsattninginteractive

En slipad (R_a = 3 μm) axel av stål SS 1650-01 (σ_U = 590 MPa) har tillverkats ur ett runt råämne på 200 mm. Axeln har en diameterändring från 180 mm till 160 mm med avrundningsradien r = 5 mm. Bestäm det maximala roterande böjmomentet M axeln får utsättas för om en säkerhetsfaktor på 2,0 mot utmattningsbrott ska användas.

A ground (R_a = 3 μm) axle of steel SS 1650-01 (σ_U = 590 MPa) is manufactured from a 200 mm round bar. The axle has a diameter change from 180 mm to 160 mm with the shoulder fillet radius r = 5 mm. Determine the maximum rotating bending moment M the axle may be subjected to if a safety factor of 2.0 against fatigue failure is used.

VerklighetsanknytningReal-world context Varje diameterändring, spår eller hål är en spänningskoncentration — och i utmattning är de ofta det som spräcker en komponent. Här kombineras kerbfaktorn (K_f) med reduktionsfaktorer och säkerhetsfaktor till ett tillåtet nominellt spänningsvärde, som sedan ger det maximala momentet. Detta är kärnan i axeldimensionering mot utmattning. Every diameter change, groove or hole is a stress concentration — and in fatigue they are often what cracks a component. Here the notch factor (K_f) is combined with reduction factors and a safety factor into an allowable nominal stress, which then gives the maximum moment. This is the heart of fatigue design of axles.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: det maximala roterande böjmomentet M axeln får utsättas för om en säkerhetsfaktor på 2,0 mot utmattningsbrott ska användas.You're asked to determine: the maximum rotating bending moment M the axle may be subjected to if a safety factor of 2.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. Utmattningsgräns och reduktionsfaktorerFatigue limit and reduction factors
  6. Spänningskoncentration och kerbfaktorStress concentration and notch factor
  7. Tillåten nominell spänning och momentAllowable nominal stress and moment
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. σ_FLB = ±270 MPa. Reduktionsfaktorer λ = 0,80, κ = 0,92, δ = 1 (K_f tar över). σ_FLB = ±270 MPa. Reduction factors λ = 0.80, κ = 0.92, δ = 1 (K_f takes over).
2. K_t = 2,25 (D/d=1,125, r/d=0,031); K_f = 1 + 0,84(2,25−1) = 2,05. K_t = 2.25 (D/d=1.125, r/d=0.031); K_f = 1 + 0.84(2.25−1) = 2.05.
3. σ_nom = 0,18·270 = 48,5 MPa; M = σ_nom·πd³/32 ≈ 19 kNm (d=160). σ_nom = 0.18·270 = 48.5 MPa; M = σ_nom·πd³/32 ≈ 19 kNm (d=160).
≈ 20 min≈ 20 min · utmattning spänningskoncentration kerbfaktor säkerhetsfaktor böjmoment

LösningSolution

Utgå från materialets böjutmattningsgräns σ_FLB = ±270 MPa. Reducera med faktorer för storlek (λ), ytfinhet (κ) och — i stället för volymfaktorn δ — kerbfaktorn K_f. Bestäm K_t ur geometrin och K_f = 1 + q(K_t − 1). Med säkerhetsfaktorn η fås tillåten nominell spänning, och därur momentet via σ = 32M/(πd³). Start from the material's bending fatigue limit σ_FLB = ±270 MPa. Reduce with factors for size (λ), surface finish (κ) and — instead of the volume factor δ — the notch factor K_f. Find K_t from the geometry and K_f = 1 + q(K_t − 1). With the safety factor η you get the allowable nominal stress, and from it the moment via σ = 32M/(πd³).
Den samlade reduktionen (λδκ)/(K_f·η) = 0,18 drar ned 270 MPa till 48,5 MPa tillåten nominell spänning — en kraftig reduktion, dominerad av kerbfaktorn 2,05 och säkerhetsfaktorn 2,0. Rimligt för en kraftigt kerbad axel. The combined reduction (λδκ)/(K_f·η) = 0.18 brings 270 MPa down to 48.5 MPa allowable nominal stress — a strong reduction, dominated by the notch factor 2.05 and the safety factor 2.0. Reasonable for a sharply notched axle.
1. Utmattningsgräns och reduktionsfaktorerFatigue limit and reduction factors

Materialets böjutmattningsgräns är σ_FLB = ±270 MPa. Reduktionsfaktorer: λ = 0,80 (storlek, råämne 200 mm), κ = 0,92 (slipad yta). Volymfaktorn sätts δ = 1 eftersom kerbfaktorn K_f tar över dess roll. The material's bending fatigue limit is σ_FLB = ±270 MPa. Reduction factors: λ = 0.80 (size, 200 mm bar), κ = 0.92 (ground surface). The volume factor is set to δ = 1 because the notch factor K_f takes over its role.

Vad gör den lilla avrundningsradien (r = 5 mm) med det tillåtna momentet? What does the small fillet radius (r = 5 mm) do to the allowable moment?
50%
En skarp avrundning ger hög K_t (här 2,25) och kerbfaktor K_f = 2,05 — det mer än halverar den tillåtna spänningen. A sharp fillet gives a high K_t (here 2.25) and notch factor K_f = 2.05 — that more than halves the allowable stress.
Axel med axelansats: diameter 180 → 160 mm, avrundningsradie r = 5 mm, belastad med roterande böjmoment M.Stepped shaft: diameter 180 → 160 mm, fillet radius r = 5 mm, loaded by a rotating bending moment M.
$$ \sigma_{FLB} = \pm 270\ \text{MPa}, \quad \lambda = 0{,}80, \quad \delta = 1, \quad \kappa = 0{,}92 $$
2. Spänningskoncentration och kerbfaktorStress concentration and notch factor

Med D/d = 180/160 = 1,125 och r/d = 5/160 = 0,031 ger diagrammet K_t = 2,25. Kerbkänsligheten q = 0,84 (kursbokens figur 8.11) ger kerbfaktorn. With D/d = 180/160 = 1.125 and r/d = 5/160 = 0.031 the chart gives K_t = 2.25. The notch sensitivity q = 0.84 (course book Fig. 8.11) gives the notch factor.

$$ \dfrac{D}{d} = 1{,}125, \quad \dfrac{r}{d} = 0{,}031 \;\Rightarrow\; K_t = 2{,}25 $$
$$ K_f = 1 + q(K_t - 1) = 1 + 0{,}84(2{,}25 - 1) = 2{,}05 $$
3. Tillåten nominell spänning och momentAllowable nominal stress and moment

Kerbfaktorn förstorar den nominella spänningen, säkerhetsfaktorn delar ned. Lös ut tillåten nominell spänning, sätt sedan in i böjformeln σ = 32M/(πd³) med d = 160 mm. The notch factor magnifies the nominal stress, the safety factor divides it down. Solve for the allowable nominal stress, then substitute into the bending formula σ = 32M/(πd³) with d = 160 mm.

$$ \sigma_{all}^{nom} = \dfrac{\lambda\,\delta\,\kappa}{K_f\,\eta}\,\sigma_{FLB} = \dfrac{0{,}80\cdot 1\cdot 0{,}92}{2{,}05\cdot 2{,}0}\cdot 270 = 0{,}18\cdot 270 = 48{,}5\ \text{MPa} $$
$$ \sigma_{all}^{nom} = \dfrac{32M}{\pi d^3} \;\Rightarrow\; M = \dfrac{\sigma_{all}^{nom}\,\pi d^3}{32} = \dfrac{48{,}5\cdot 10^6 \cdot \pi \cdot 0{,}160^3}{32} $$
$$ \boxed{M \approx 19\ \text{kNm}} $$
Sammanfattning.Summary. K_t = 2,25 ⇒ K_f = 2,05. Tillåten nominell spänning (λδκ)/(K_fη)·σ_FLB = 0,18·270 = 48,5 MPa. Med σ = 32M/(πd³), d = 160 mm: M ≈ 19 kNm. K_t = 2.25 ⇒ K_f = 2.05. Allowable nominal stress (λδκ)/(K_fη)·σ_FLB = 0.18·270 = 48.5 MPa. With σ = 32M/(πd³), d = 160 mm: M ≈ 19 kNm.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.48 · Spänningskoncentration K_t (axel med axelansats)Stress concentration K_t (stepped shaft / shoulder)
  • KB s.49 · Kerbfaktor K_f = 1 + q(K_t − 1), kerbkänslighet qNotch factor K_f = 1 + q(K_t − 1), notch sensitivity q
  • KB s.43 · Böjspänning σ = 32M/(πd³)Bending stress σ = 32M/(πd³)
Vanliga misstagCommon mistakes
M45-1_notch_ignored
Glömmer kerbfaktorn. Utan K_f överskattas det tillåtna momentet kraftigt — kerben är ofta den dimensionerande detaljen vid utmattning. Forgetting the notch factor. Without K_f the allowable moment is badly overestimated — the notch is often the governing detail in fatigue.
M45-2_wrong_d
Använder D = 180 i böjformeln. Den dimensionerande spänningen sitter vid den MINDRE diametern d = 160 (vid ansatsen). Using D = 180 in the bending formula. The governing stress is at the SMALLER diameter d = 160 (at the shoulder).
M45-3_delta_double
Tar med BÅDE volymfaktorn δ och kerbfaktorn K_f. Här sätts δ = 1 eftersom K_f tar över den rollen. Including BOTH the volume factor δ and the notch factor K_f. Here δ = 1 because K_f takes over that role.

Prova själv — kerbfaktor och säkerhetsfaktorTry it yourself — notch factor and safety factor

Se hur K_t, kerbkänsligheten q och säkerhetsfaktorn η styr det tillåtna momentet (övriga faktorer λ=0,80, κ=0,92, d=160 mm fasta). En skarpare avrundning (högre K_t) sänker M snabbt. See how K_t, the notch sensitivity q and the safety factor η control the allowable moment (other factors λ=0.80, κ=0.92, d=160 mm fixed). A sharper fillet (higher K_t) lowers M quickly.

270 MPa
2.25
0.84
2.0
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
—
— MPa
— kNm
4.6 fortsattninginteractive

En komponent i ett vägfordon utsätts för en upprepad lastsekvens. En sekvens innehåller följande spänningsamplituder (alternerande last): σ_a = 200, 180, 150 och 100 MPa, med antalet lastcykler n = 15, 20, 150 respektive 3000. Materialets Wöhler-kurva ges i detta spänningsområde av σ_a = −55·log N + 430 MPa. Bestäm a) delskadan D efter en lastsekvens, och b) hur många sekvenser komponenten klarar före utmattningsbrott.

A road-vehicle component is subjected to a repeated loading sequence. One sequence contains the stress amplitudes (alternating loading): σ_a = 200, 180, 150 and 100 MPa, with cycle counts n = 15, 20, 150 and 3000 respectively. The material's Wöhler curve in this stress range is σ_a = −55·log N + 430 MPa. Determine a) the damage D after one sequence, and b) how many sequences the component survives before fatigue failure.

VerklighetsanknytningReal-world context Verkliga laster är sällan en enda amplitud — de varierar. Palmgren-Miners delskadehypotes summerar skadan från varje nivå som n/N och säger att brott sker när summan når 1. Det är standardmetoden för att uppskatta livslängd under variabel amplitud, t.ex. för fordon, broar och flygplan. Real loads are rarely a single amplitude — they vary. The Palmgren-Miner rule sums the damage from each level as n/N and says failure occurs when the sum reaches 1. It is the standard method for estimating life under variable amplitude — e.g. for vehicles, bridges and aircraft.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: a) delskadan D efter en lastsekvens, och b) hur många sekvenser komponenten klarar före utmattningsbrott.You're asked to determine: a) the damage D after one sequence, and b) how many sequences the component survives before fatigue failure.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. Livslängd per spänningsnivåLife at each stress level
  6. Delskada och antal sekvenserPartial damage and number of sequences
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Lös N = 10^((430−σ_a)/55) för varje amplitud. Solve N = 10^((430−σ_a)/55) for each amplitude.
2. D = Σ n_i/N_i = 15/15199 + 20/35112 + 150/123285 + 3000/10⁶. D = Σ n_i/N_i = 15/15199 + 20/35112 + 150/123285 + 3000/10⁶.
3. D = 5,77·10⁻³ ⇒ N_s = 1/D ≈ 173 sekvenser. D = 5.77·10⁻³ ⇒ N_s = 1/D ≈ 173 sequences.
≈ 14 min≈ 14 min · utmattning delskadehypotesen palmgren-miner wöhler-kurva

LösningSolution

För varje spänningsnivå ger Wöhler-kurvan livslängden N = 10^((430−σ_a)/55). Bilda delskadan n/N per nivå, summera till D för en sekvens, och antalet sekvenser är N_s = 1/D. For each stress level the Wöhler curve gives the life N = 10^((430−σ_a)/55). Form the partial damage n/N per level, sum to D for one sequence, and the number of sequences is N_s = 1/D.
Den lägsta amplituden (100 MPa) bidrar mest till skadan (3000/10⁶ = 3,0·10⁻³ av totalt 5,77·10⁻³) — trots lägst spänning, eftersom den har överlägset flest cykler. En vanlig aha-upplevelse. The lowest amplitude (100 MPa) contributes the most damage (3000/10⁶ = 3.0·10⁻³ of the total 5.77·10⁻³) — despite the lowest stress, because it has by far the most cycles. A common aha moment.
1. Livslängd per spänningsnivåLife at each stress level

Lös ut N ur Wöhler-relationen för varje amplitud. Solve N from the Wöhler relation for each amplitude.

Vilken spänningsnivå bidrar MEST till skadan? Which stress level contributes the MOST damage?
50%
100 MPa-nivån har så många fler cykler (3000) att den dominerar skadan (3,0·10⁻³), trots lägst spänning. The 100 MPa level has so many more cycles (3000) that it dominates the damage (3.0·10⁻³), despite the lowest stress.
$$ N = 10^{(430 - \sigma_a)/55} $$
$$ N(200) = 15\,199, \quad N(180) = 35\,112, \quad N(150) = 123\,285, \quad N(100) = 10^6 $$
2. Delskada och antal sekvenserPartial damage and number of sequences

Summera n/N över alla nivåer för en sekvens; invertera för antalet sekvenser. Sum n/N over all levels for one sequence; invert for the number of sequences.

$$ D = \sum \dfrac{n_i}{N_i} = \dfrac{15}{15\,199} + \dfrac{20}{35\,112} + \dfrac{150}{123\,285} + \dfrac{3000}{10^6} $$
$$ D = 5{,}77 \times 10^{-3} $$
$$ \boxed{N_s = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{5{,}77\times 10^{-3}} \approx 173\ \text{sekvenser}} $$
Sammanfattning.Summary. Wöhler ger N per nivå; delskadan D = Σn/N = 5,77·10⁻³ per sekvens, och komponenten klarar N_s = 1/D ≈ 173 sekvenser. The Wöhler curve gives N per level; the damage D = Σn/N = 5.77·10⁻³ per sequence, and the component survives N_s = 1/D ≈ 173 sequences.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.50 · Palmgren-Miners delskadehypotes: D = Σ n_i/N_i, brott vid D = 1Palmgren-Miner rule: D = Σ n_i/N_i, failure at D = 1
Vanliga misstagCommon mistakes
M46-1_highest_stress
Antar att högsta spänningen ger mest skada. Skadan är n/N — många cykler vid låg spänning kan ge mer skada än få cykler vid hög. Assuming the highest stress does the most damage. Damage is n/N — many cycles at low stress can do more than few cycles at high.
M46-2_log_base
Glömmer att lösa ut N korrekt: N = 10^((430−σ_a)/55). Det är tio-logaritm i Wöhler-relationen. Failing to invert correctly: N = 10^((430−σ_a)/55). The Wöhler relation uses base-10 log.
M46-3_D_not_inverted
Glömmer att N_s = 1/D. D är skadan per sekvens; antalet sekvenser är dess invers. Forgetting that N_s = 1/D. D is the damage per sequence; the number of sequences is its inverse.

Prova själv — Wöhler-livslängd för en amplitudTry it yourself — Wöhler life for one amplitude

Skjut σ_a och se hur snabbt livslängden N växer när amplituden minskar (logaritmiskt!). Det är därför de få högspänningscyklerna och de många lågspänningscyklerna kan bidra jämförbart till skadan. Slide σ_a and see how rapidly the life N grows as the amplitude drops (logarithmically!). That is why the few high-stress cycles and the many low-stress cycles can contribute comparably to the damage.

150 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— cykler
4.7 fortsattninginteractive

En svetsad plåt utsätts för följande lastsekvens: σ_max = 120, 150, 180, 160, 140 MPa med antalet cykler n = 100, 50, 20, 40, 60. Materialets Wöhler-kurva ges av σ_max = −43,03·log N + 368,78 MPa. Bestäm a) delskadan efter en sekvens, och b) det förväntade antalet sekvenser till utmattningsbrott.

A welded plate is subjected to the loading sequence: σ_max = 120, 150, 180, 160, 140 MPa with cycle counts n = 100, 50, 20, 40, 60. The material's Wöhler curve is σ_max = −43.03·log N + 368.78 MPa. Determine a) the damage after one sequence, and b) the expected number of sequences to fatigue failure.

VerklighetsanknytningReal-world context Svetsade konstruktioner (broar, kranar, fartyg) dimensioneras nästan alltid mot utmattning, eftersom svetsen är en inbyggd kerb med egenspänningar. Här uttrycks Wöhler-kurvan i max-spänning σ_max (vanligt för svetsklasser). Samma Palmgren-Miner-summering som i 4.6 — men lägg märke till vilken nivå som nu dominerar skadan. Welded structures (bridges, cranes, ships) are almost always designed against fatigue, because the weld is a built-in notch with residual stresses. Here the Wöhler curve is expressed in the maximum stress σ_max (common for weld classes). The same Palmgren-Miner summation as in 4.6 — but notice which level now dominates the damage.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: a) delskadan efter en sekvens, och b) det förväntade antalet sekvenser till utmattningsbrott.You're asked to determine: a) the damage after one sequence, and b) the expected number of sequences to fatigue failure.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. Livslängd per nivåLife at each level
  6. Delskada och antal sekvenserDamage and number of sequences
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. N = 10^((368,78−σ_max)/43,03) för varje nivå. N = 10^((368.78−σ_max)/43.03) for each level.
2. D = Σ n_i/N_i över de fem nivåerna. D = Σ n_i/N_i over the five levels.
3. D = 2,252·10⁻³ ⇒ N_s = 1/D ≈ 444. D = 2.252·10⁻³ ⇒ N_s = 1/D ≈ 444.
≈ 14 min≈ 14 min · utmattning palmgren-miner svetsad-plåt delskada

LösningSolution

Lös ut N = 10^((368,78−σ_max)/43,03) för varje nivå, bilda n/N och summera till D. Antalet sekvenser är N_s = 1/D. Solve N = 10^((368.78−σ_max)/43.03) for each level, form n/N and sum to D. The number of sequences is N_s = 1/D.
Här dominerar 180 MPa-nivån skadan (20/24360 = 8,2·10⁻⁴) trots få cykler — tvärtemot 4.6, eftersom cykelantalen här är mer jämnstora. Vilken nivå som styr beror alltså på BÅDE spänning och antal. Here the 180 MPa level dominates the damage (20/24360 = 8.2·10⁻⁴) despite few cycles — the opposite of 4.6, because the cycle counts here are more comparable. Which level governs depends on BOTH stress and count.
1. Livslängd per nivåLife at each level

Wöhler-kurvan ger N för varje σ_max. The Wöhler curve gives N for each σ_max.

Vilken nivå bidrar mest till skadan här? Which level contributes the most damage here?
50%
Här är cykelantalen jämnstora, så den högsta spänningen (180 MPa, kortast liv) dominerar: 20/24360 = 8,2·10⁻⁴. Jämför med 4.6 där lågspänningsnivån dominerade. Here the cycle counts are comparable, so the highest stress (180 MPa, shortest life) dominates: 20/24360 = 8.2·10⁻⁴. Contrast with 4.6 where the low-stress level dominated.
$$ N = 10^{(368{,}78 - \sigma_{max})/43{,}03} $$
$$ \begin{array}{c|ccccc} \sigma_{max} & 120 & 150 & 180 & 160 & 140 \\ \hline N_i & 603\,818 & 121\,282 & 24\,360 & 71\,028 & 207\,093 \\ n_i & 100 & 50 & 20 & 40 & 60 \end{array} $$
2. Delskada och antal sekvenserDamage and number of sequences

Summera n/N och invertera. Sum n/N and invert.

$$ D = \dfrac{100}{603\,818} + \dfrac{50}{121\,282} + \dfrac{20}{24\,360} + \dfrac{40}{71\,028} + \dfrac{60}{207\,093} = 2{,}252\times 10^{-3} $$
$$ \boxed{N_s = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{2{,}252\times 10^{-3}} \approx 444\ \text{sekvenser}} $$
Sammanfattning.Summary. N per nivå ur Wöhler; D = Σn/N = 2,252·10⁻³ per sekvens; N_s = 1/D ≈ 444 sekvenser. 180 MPa-nivån dominerar skadan. N per level from the Wöhler curve; D = Σn/N = 2.252·10⁻³ per sequence; N_s = 1/D ≈ 444 sequences. The 180 MPa level dominates the damage.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.50 · Palmgren-Miners delskadehypotes: D = Σ n_i/N_iPalmgren-Miner rule: D = Σ n_i/N_i
Vanliga misstagCommon mistakes
M47-1_most_cycles_always
Antar att flest cykler alltid dominerar. Det beror på fördelningen — här ger 180 MPa störst skada eftersom cykelantalen är jämnstora. Assuming the most cycles always dominate. It depends on the distribution — here 180 MPa does the most damage because the cycle counts are comparable.
M47-2_smax_vs_amp
Blandar ihop σ_max och amplitud. Den här Wöhler-kurvan är uttryckt i σ_max (svetsklasser brukar vara det) — använd σ_max direkt. Confusing σ_max and amplitude. This Wöhler curve is expressed in σ_max (weld classes usually are) — use σ_max directly.

Prova själv — Wöhler-livslängd (svetsklass)Try it yourself — Wöhler life (weld class)

Skjut σ_max och se livslängden N ur svetsens Wöhler-kurva. Lutningen −43,03 per dekad är flackare än i 4.6 (−55), typiskt för svetsade detaljer. Slide σ_max and see the life N from the weld's Wöhler curve. The slope −43.03 per decade is shallower than in 4.6 (−55), typical of welded details.

180 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— cykler
4.8 fortsattninginteractive

Det normaliserade stålet 37MnSi5 har σ_U = 810 MPa, och Wöhler-kurvan kan uttryckas som σ_FL = σ_U @ N=1; σ_FL = 0,9·σ_U @ N=1000; σ_FL = 0,45·σ_U @ N=10⁶. En struktur utsätts för spännings­tidshistoriken 600, 400, 460, 365, 525, 400, 440, 370, 600 MPa. Bestäm a) medelspänning och amplitud för de olika cyklerna, b) delskadan D för en sekvens, och c) det maximala antalet sekvenser strukturen tål.

The normalised steel 37MnSi5 has σ_U = 810 MPa, and the Wöhler curve can be expressed as σ_FL = σ_U @ N=1; σ_FL = 0.9·σ_U @ N=1000; σ_FL = 0.45·σ_U @ N=10⁶. A structure is subjected to the stress-time history 600, 400, 460, 365, 525, 400, 440, 370, 600 MPa. Determine a) the mean stress and amplitude of the different cycles, b) the damage D for one sequence, and c) the maximum number of sequences the structure can take.

VerklighetsanknytningReal-world context Verkliga lasthistorier är oregelbundna. Rainflow-metoden ('regnflöde') är standardalgoritmen för att bryta ned en spänningshistoria i enskilda hysteres-cykler som var och en kan analyseras. Tillsammans med en medelspänningskorrektion (Goodman) och Palmgren-Miner är detta hela kedjan i modern utmattningsanalys av t.ex. fordon och vindkraftverk. Real load histories are irregular. The rainflow method is the standard algorithm for decomposing a stress history into individual hysteresis cycles that can each be analysed. Together with a mean-stress correction (Goodman) and Palmgren-Miner, this is the whole chain of modern fatigue analysis of e.g. vehicles and wind turbines.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: a) medelspänning och amplitud för de olika cyklerna, b) delskadan D för en sekvens, och c) det maximala antalet sekvenser strukturen tål.You're asked to determine: a) the mean stress and amplitude of the different cycles, b) the damage D for one sequence, and c) the maximum number of sequences the structure can take.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
  2. Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
  3. Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
  4. Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
  5. a) Rainflow-cyklera) Rainflow cycles
  6. b) Goodman-korrigerade amplituderb) Goodman-corrected amplitudes
  7. c) Jämför med utmattningsgränsen ⇒ skadac) Compare with the fatigue limit ⇒ damage
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Extrahera cyklerna med rainflow (4 cykler). Räkna medel och amplitud för var och en. Extract the cycles with rainflow (4 cycles). Compute mean and amplitude for each.
2. Korrigera med Goodman: S_Nf = S_a/(1 − S_m/810). Correct with Goodman: S_Nf = S_a/(1 − S_m/810).
3. Alla S_Nf < 0,45·810 = 364,5 ⇒ ingen cykel ger skada ⇒ oändlig livslängd. All S_Nf < 0.45·810 = 364.5 ⇒ no cycle does damage ⇒ infinite life.
≈ 22 min≈ 22 min · utmattning rainflow lastkollektiv medelspänningskorrektion goodman

LösningSolution

1) Räkna cykler ur tidshistoriken med rainflow-metoden. 2) Korrigera varje amplitud för medelspänning med Goodman: S_Nf = S_a/(1 − S_m/S_u). 3) Jämför de korrigerade amplituderna med utmattningsgränsen 0,45·σ_U; cykler under gränsen ger ingen skada. 4) Summera skadan och invertera. 1) Count cycles from the time history with the rainflow method. 2) Correct each amplitude for mean stress with Goodman: S_Nf = S_a/(1 − S_m/S_u). 3) Compare the corrected amplitudes with the fatigue limit 0.45·σ_U; cycles below the limit do no damage. 4) Sum the damage and invert.
Alla fyra korrigerade amplituder (290,7; 177,5; 42,5; 63,9 MPa) ligger UNDER utmattningsgränsen 0,45·σ_U = 364,5 MPa. Ingen cykel överskrider Wöhler-kurvan ⇒ strukturen har i praktiken oändlig livslängd. All four corrected amplitudes (290.7, 177.5, 42.5, 63.9 MPa) lie BELOW the fatigue limit 0.45·σ_U = 364.5 MPa. No cycle exceeds the Wöhler curve ⇒ the structure has essentially infinite life.
1. a) Rainflow-cyklera) Rainflow cycles

Rainflow-metoden extraherar fyra cykler ur tidshistoriken. För varje cykel: medel = (max+min)/2, amplitud = (max−min)/2. The rainflow method extracts four cycles from the time history. For each cycle: mean = (max+min)/2, amplitude = (max−min)/2.

Varför måste medelspänningen korrigeras innan Wöhler-kurvan används? Why must the mean stress be corrected before using the Wöhler curve?
50%
Wöhler-kurvan är uppmätt vid noll medelspänning. En dragmedelspänning är skadlig, så amplituden räknas om till en ekvivalent noll-medel-amplitud med Goodman. The Wöhler curve is measured at zero mean stress. A tensile mean stress is harmful, so the amplitude is converted to an equivalent zero-mean amplitude with Goodman.
Spännings­tidshistoria (MPa mot tid). Vändpunkterna 600-400-460-365-525-400-440-370-600 bryts ned i fyra hysteres-cykler med rainflow-metoden.Stress-time history (MPa vs time). The turning points 600-400-460-365-525-400-440-370-600 are decomposed into four hysteresis cycles by the rainflow method.
$$ \begin{array}{c|cccc} \text{Cykel} & \text{Max} & \text{Min} & \text{Medel } S_m & \text{Amplitud } S_a \\ \hline 1 & 600 & 365 & 482{,}5 & 117{,}5 \\ 2 & 525 & 365 & 445 & 80 \\ 3 & 440 & 399 & 419{,}5 & 20{,}5 \\ 4 & 460 & 400 & 430 & 30 \end{array} $$
2. b) Goodman-korrigerade amplituderb) Goodman-corrected amplitudes

Räkna om varje amplitud till ekvivalent amplitud vid noll medelspänning: S_Nf = S_a/(1 − S_m/S_u), med S_u = σ_U = 810 MPa. Convert each amplitude to an equivalent zero-mean amplitude: S_Nf = S_a/(1 − S_m/S_u), with S_u = σ_U = 810 MPa.

$$ \dfrac{S_a}{S_{Nf}} + \dfrac{S_m}{S_u} = 1 \;\Rightarrow\; S_{Nf} = \dfrac{S_a}{1 - S_m/S_u} $$
$$ \begin{array}{c|ccc} \text{Cykel} & S_a & S_m & S_{Nf}\,(\text{korr.}) \\ \hline 1 & 117{,}5 & 482{,}5 & 290{,}7 \\ 2 & 80 & 445 & 177{,}5 \\ 3 & 20{,}5 & 419{,}5 & 42{,}5 \\ 4 & 30 & 430 & 63{,}9 \end{array} $$
3. c) Jämför med utmattningsgränsen ⇒ skadac) Compare with the fatigue limit ⇒ damage

Utmattningsgränsen är 0,45·σ_U = 364,5 MPa. Alla fyra korrigerade amplituder ligger under den — ingen cykel överskrider Wöhler-kurvan, så varje cykel hamnar vid 'run-out' (N_i ≈ 10⁹) och bidrar försumbart till skadan. The fatigue limit is 0.45·σ_U = 364.5 MPa. All four corrected amplitudes lie below it — no cycle exceeds the Wöhler curve, so each cycle is at 'run-out' (N_i ≈ 10⁹) and contributes negligibly to the damage.

$$ S_{Nf}^{(max)} = 290{,}7\ \text{MPa} < 0{,}45\,\sigma_U = 364{,}5\ \text{MPa} $$
$$ D = \sum \dfrac{n_i}{N_i} = \dfrac{4}{10^{9}} \approx 4\times 10^{-9} \quad (N_s = 1/D \sim 10^{8}) $$
$$ \boxed{\text{Ingen utmattning — alla cykler under utmattningsgränsen (i praktiken oändlig livslängd)}} $$
Sammanfattning.Summary. Rainflow ger 4 cykler. Efter Goodman-korrektion ligger alla amplituder (≤ 290,7 MPa) under utmattningsgränsen 364,5 MPa ⇒ ingen skada ackumuleras ⇒ strukturen har i praktiken oändlig livslängd. Rainflow gives 4 cycles. After Goodman correction all amplitudes (≤ 290.7 MPa) lie below the fatigue limit 364.5 MPa ⇒ no damage accumulates ⇒ the structure has essentially infinite life.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.51 · Rainflow-cykelräkningRainflow cycle counting
  • KB s.46 · Goodman medelspänningskorrektion: S_a/S_Nf + S_m/S_u = 1Goodman mean-stress correction: S_a/S_Nf + S_m/S_u = 1
Vanliga misstagCommon mistakes
M48-1_ignore_mean
Använder amplituden direkt i Wöhler-kurvan utan medelspänningskorrektion. Wöhler-kurvan gäller noll medel — en dragmedelspänning måste räknas om med Goodman. Using the amplitude directly in the Wöhler curve without mean-stress correction. The Wöhler curve is for zero mean — a tensile mean stress must be corrected with Goodman.
M48-2_rainflow_count
Räknar fel antal cykler. Rainflow parar ihop vändpunkter till slutna hysteres-loopar; här blir det fyra cykler, inte åtta halvcykler. Counting the wrong number of cycles. Rainflow pairs turning points into closed hysteresis loops; here that is four cycles, not eight half-cycles.
M48-3_below_limit_damage
Räknar skada för cykler under utmattningsgränsen. Under 0,45·σ_U ligger man på den vågräta delen (N → ∞) — ingen skada. Counting damage for cycles below the fatigue limit. Below 0.45·σ_U you are on the horizontal part (N → ∞) — no damage.

Prova själv — Goodman-korrektion av en cykelTry it yourself — Goodman correction of a cycle

Mata in amplitud S_a och medelspänning S_m för en cykel (S_u = 810). Den korrigerade amplituden S_Nf jämförs med utmattningsgränsen 364,5 MPa. Hög medelspänning ökar den effektiva amplituden kraftigt. Enter the amplitude S_a and mean stress S_m of a cycle (S_u = 810). The corrected amplitude S_Nf is compared with the fatigue limit 364.5 MPa. A high mean stress increases the effective amplitude strongly.

117.5 MPa
482.5 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— MPa
— MPa
KällaSource: Alexander Barlo, Blekinge Institute of Technology — Department of Mechanical Engineering, Structural Mechanics Research Lab — https://www.bth.se.
FormelreferensFormula reference: KB = Formulas and Tables for Mechanical Construction, Karl Björk, Björks förlag (https://bjorksforlag.se). Formler från Karl Björks bok refereras som 'KB s.17' där s.17 betyder sida 17 i åttonde upplagan.Formulas from Karl Björk's handbook are referenced as 'KB s.17' where s.17 means page 17 in the 8th edition.
Originalfigurer © Alexander Barlo / BTH. Friförkroppsdiagrammen är omritade som inline SVG. Endast för intern granskning av MT1566-teamet vid BTH. Original figures © Alexander Barlo / BTH. Free-body diagrams are redrawn as inline SVG. For internal BTH MT1566 review only.